Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$

Этап 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{5}{3}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{5}{3}}]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{5}{3}}$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} u^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{5 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.1.6.2

Вычтем $3$ из $5$ .

$5 (\frac{5}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.7.1

Объединим $\frac{5}{3}$ и ${(x - 3)}^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.1.7.2

Объединим $\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ и $5$ .

$\frac{5 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5}{3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 1.1.1.7.3

Умножим $5$ на $5$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 1.1.1.8

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.1.1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.1.1.10

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} (1 + 0)$

Этап 1.1.1.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3} \cdot 1$

Этап 1.1.1.11.2

Умножим $\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ на $1$ .

$f' (x) = \frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$

Этап 1.1.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $\frac{25}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{25 {(x - 3)}^{\frac{2}{3}}}{3}$ по $x$ равна $\frac{25}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{25}{3} \frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$\frac{25}{3} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.2.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3} {(x - 3)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.2.7.2

Объединим $\frac{2}{3}$ и ${(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2 {(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.2.7.3

Перенесем ${(x - 3)}^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{25}{3} (\frac{2}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 3])$

Этап 1.1.2.7.4

Умножим $\frac{2}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ на $\frac{25}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 25}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 1.1.2.7.5

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.7.5.1

Умножим $2$ на $25$ .

$\frac{50}{3 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}} \cdot 3} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 1.1.2.7.5.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Этап 1.1.2.8

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Этап 1.1.2.10

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} (1 + 0)$

Этап 1.1.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} \cdot 1$

Этап 1.1.2.11.2

Умножим $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ на $1$ .

$f'' (x) = \frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.1.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 1.2

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{50}{9 {(x - 3)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Этап 1.2.2

Приравняем числитель к нулю.

$50 = 0$

Этап 1.2.3

Поскольку $50 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 2

Найдем область определения $f (x) = 5 {(x - 3)}^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ , чтобы представить возведение в степень в виде радикала.

$5 \sqrt[3]{{(x - 3)}^{5}}$

Этап 2.2

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 3

График вогнут вверх, так как вторая производная положительна.

График имеет вогнутость вверх.

Этап 4