Математический анализ Примеры

$y = x {(2 x + 1)}^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(2 x + 1)}^{4}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{4}] + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = 2 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$x (4 u^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x + 1]) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.4

Умножим $2$ на $1$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [1])) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$x (4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.6.2

Умножим $2$ на $4$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4} \cdot 1$

Этап 1.3.8

Умножим ${(2 x + 1)}^{4}$ на $1$ .

$x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{3}$ из $x (8 {(2 x + 1)}^{3}) + {(2 x + 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{3}$ из $x (8 {(2 x + 1)}^{3})$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{4}$

Этап 1.4.1.2

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{3}$ из ${(2 x + 1)}^{4}$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$

Этап 1.4.1.3

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{3}$ из ${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8)) + {(2 x + 1)}^{3} (2 x + 1)$ .

${(2 x + 1)}^{3} (x \cdot (8) + 2 x + 1)$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Перенесем $8$ влево от $x$ .

${(2 x + 1)}^{3} (8 \cdot x + 2 x + 1)$

Этап 1.4.2.2

Добавим $8 x$ и $2 x$ .

$f' (x) = {(2 x + 1)}^{3} (10 x + 1)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

${(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} [10 x + 1] + (10 x + 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $10 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (10 x + 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Этап 2.2.2

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(2 x + 1)}^{3} (10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (10 x + 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(2 x + 1)}^{3} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (10 x + 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Этап 2.2.4

Умножим $10$ на $1$ .

${(2 x + 1)}^{3} (10 + \frac{d}{d x} [1]) + (10 x + 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Этап 2.2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

${(2 x + 1)}^{3} (10 + 0) + (10 x + 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Этап 2.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Добавим $10$ и $0$ .

${(2 x + 1)}^{3} \cdot 10 + (10 x + 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Этап 2.2.6.2

Перенесем $10$ влево от ${(2 x + 1)}^{3}$ .

$10 \cdot {(2 x + 1)}^{3} + (10 x + 1) \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$

Этап 2.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x + 1$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + (10 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + (10 x + 1) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x + 1$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + (10 x + 1) (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1])$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перенесем $3$ влево от $10 x + 1$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + 3 \cdot (10 x + 1) {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Этап 2.4.2

По правилу суммы производная $2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + 3 (10 x + 1) {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + 3 (10 x + 1) {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.4.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + 3 (10 x + 1) {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.4.5

Умножим $2$ на $1$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + 3 (10 x + 1) {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.4.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + 3 (10 x + 1) {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)$

Этап 2.4.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.7.1

Добавим $2$ и $0$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + 3 (10 x + 1) {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2$

Этап 2.4.7.2

Умножим $2$ на $3$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + 6 (10 x + 1) {(2 x + 1)}^{2}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$10 {(2 x + 1)}^{3} + (6 (10 x) + 6 \cdot 1) {(2 x + 1)}^{2}$

Этап 2.5.2

Умножим $10$ на $6$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + (60 x + 6 \cdot 1) {(2 x + 1)}^{2}$

Этап 2.5.3

Умножим $6$ на $1$ .

$10 {(2 x + 1)}^{3} + (60 x + 6) {(2 x + 1)}^{2}$

Этап 2.5.4

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{2}$ из $10 {(2 x + 1)}^{3} + (60 x + 6) {(2 x + 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{2}$ из $10 {(2 x + 1)}^{3}$ .

${(2 x + 1)}^{2} (10 (2 x + 1)) + (60 x + 6) {(2 x + 1)}^{2}$

Этап 2.5.4.2

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{2}$ из $(60 x + 6) {(2 x + 1)}^{2}$ .

${(2 x + 1)}^{2} (10 (2 x + 1)) + {(2 x + 1)}^{2} (60 x + 6)$

Этап 2.5.4.3

Вынесем множитель ${(2 x + 1)}^{2}$ из ${(2 x + 1)}^{2} (10 (2 x + 1)) + {(2 x + 1)}^{2} (60 x + 6)$ .

${(2 x + 1)}^{2} (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.5

Перепишем ${(2 x + 1)}^{2}$ в виде $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$(2 x + 1) (2 x + 1) (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.6

Развернем $(2 x + 1) (2 x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)) (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)) (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.7.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1.2.1

Перенесем $x$ .

$(2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.7.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$(2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.7.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$(4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.7.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1) (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.7.1.5

Умножим $2 x$ на $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1) (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.7.1.6

Умножим $1$ на $1$ .

$(4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1) (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.7.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (10 (2 x + 1) + 60 x + 6)$

Этап 2.5.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (10 (2 x) + 10 \cdot 1 + 60 x + 6)$

Этап 2.5.8.2

Умножим $2$ на $10$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (20 x + 10 \cdot 1 + 60 x + 6)$

Этап 2.5.8.3

Умножим $10$ на $1$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (20 x + 10 + 60 x + 6)$

Этап 2.5.9

Добавим $20 x$ и $60 x$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (80 x + 10 + 6)$

Этап 2.5.10

Добавим $10$ и $6$ .

$(4 x^{2} + 4 x + 1) (80 x + 16)$

Этап 2.5.11

Развернем $(4 x^{2} + 4 x + 1) (80 x + 16)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$4 x^{2} (80 x) + 4 x^{2} \cdot 16 + 4 x (80 x) + 4 x \cdot 16 + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \cdot 80 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot 16 + 4 x (80 x) + 4 x \cdot 16 + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.12.2.1

Перенесем $x$ .

$4 \cdot 80 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 16 + 4 x (80 x) + 4 x \cdot 16 + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.12.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \cdot 80 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot 16 + 4 x (80 x) + 4 x \cdot 16 + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \cdot 80 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot 16 + 4 x (80 x) + 4 x \cdot 16 + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 \cdot 80 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 16 + 4 x (80 x) + 4 x \cdot 16 + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.3

Умножим $4$ на $80$ .

$320 x^{3} + 4 x^{2} \cdot 16 + 4 x (80 x) + 4 x \cdot 16 + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.4

Умножим $16$ на $4$ .

$320 x^{3} + 64 x^{2} + 4 x (80 x) + 4 x \cdot 16 + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$320 x^{3} + 64 x^{2} + 4 \cdot 80 x \cdot x + 4 x \cdot 16 + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.12.6.1

Перенесем $x$ .

$320 x^{3} + 64 x^{2} + 4 \cdot 80 (x \cdot x) + 4 x \cdot 16 + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$320 x^{3} + 64 x^{2} + 4 \cdot 80 x^{2} + 4 x \cdot 16 + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.7

Умножим $4$ на $80$ .

$320 x^{3} + 64 x^{2} + 320 x^{2} + 4 x \cdot 16 + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.8

Умножим $16$ на $4$ .

$320 x^{3} + 64 x^{2} + 320 x^{2} + 64 x + 1 (80 x) + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.9

Умножим $80 x$ на $1$ .

$320 x^{3} + 64 x^{2} + 320 x^{2} + 64 x + 80 x + 1 \cdot 16$

Этап 2.5.12.10

Умножим $16$ на $1$ .

$320 x^{3} + 64 x^{2} + 320 x^{2} + 64 x + 80 x + 16$

Этап 2.5.13

Добавим $64 x^{2}$ и $320 x^{2}$ .

$320 x^{3} + 384 x^{2} + 64 x + 80 x + 16$

Этап 2.5.14

Добавим $64 x$ и $80 x$ .

$f'' (x) = 320 x^{3} + 384 x^{2} + 144 x + 16$