Математический анализ Примеры

$\frac{c x + d}{a x + b}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d \cdot d} [\frac{f (d)}{g (d)}]$ имеет вид $\frac{g (d) \frac{d}{d \cdot d} [f (d)] - f (d) \frac{d}{d \cdot d} [g (d)]}{{g (d)}^{2}}$ , где $f (d) = c x + d$ и $g (d) = a x + b$ .

$\frac{(a x + b) \frac{d}{d \cdot d} [c x + d] - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $c x + d$ по $d$ имеет вид $\frac{d}{d \cdot d} [c x] + \frac{d}{d \cdot d} [d]$ .

$\frac{(a x + b) (\frac{d}{d \cdot d} [c x] + \frac{d}{d \cdot d} [d]) - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 2.2

Поскольку $c x$ является константой относительно $d$ , производная $c x$ относительно $d$ равна $0$ .

$\frac{(a x + b) (0 + \frac{d}{d \cdot d} [d]) - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d \cdot d} [d^{n}]$ имеет вид $n d^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(a x + b) (0 + 1) - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 2.4

Добавим $0$ и $1$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) \frac{d}{d \cdot d} [a x + b]}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $a x + b$ по $d$ имеет вид $\frac{d}{d \cdot d} [a x] + \frac{d}{d \cdot d} [b]$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) (\frac{d}{d \cdot d} [a x] + \frac{d}{d \cdot d} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $a x$ является константой относительно $d$ , производная $a x$ относительно $d$ равна $0$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) (0 + \frac{d}{d \cdot d} [b])}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $b$ является константой относительно $d$ , производная $b$ относительно $d$ равна $0$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) (0 + 0)}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 2.8

Добавим $0$ и $0$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1 - (c x + d) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x \cdot 1 + b \cdot 1 - (c x + d) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x \cdot 1 + b \cdot 1 + (- (c x) - d) \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{a x \cdot 1 + b \cdot 1 - (c x) \cdot 0 - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим $a$ на $1$ .

$\frac{a x + b \cdot 1 - (c x) \cdot 0 - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.4.1.2

Умножим $b$ на $1$ .

$\frac{a x + b - (c x) \cdot 0 - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3

Умножим $- c x \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.3.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{a x + b + 0 c x - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3.2

Умножим $0$ на $c$ .

$\frac{a x + b + 0 x - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.4.1.3.3

Умножим $0$ на $x$ .

$\frac{a x + b + 0 - d \cdot 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4

Умножим $- d \cdot 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.4.1

Умножим $0$ на $- 1$ .

$\frac{a x + b + 0 + 0 d}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.4.1.4.2

Умножим $0$ на $d$ .

$\frac{a x + b + 0 + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Объединим противоположные члены в $a x + b + 0 + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Добавим $a x + b$ и $0$ .

$\frac{a x + b + 0}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.4.2.2

Добавим $a x + b$ и $0$ .

$\frac{a x + b}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $a x + b$ и ${(a x + b)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим на $1$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1}{{(a x + b)}^{2}}$

Этап 3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Вынесем множитель $a x + b$ из ${(a x + b)}^{2}$ .

$\frac{(a x + b) \cdot 1}{(a x + b) (a x + b)}$

Этап 3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(a x + b) \cdot 1}{(a x + b) (a x + b)}$

Этап 3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{a x + b}$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{b + a x}$