Математический анализ Примеры

$f (x) = (11 - x) {(x + 1)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) ((x + 1) (x + 1))]$

Этап 1.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x (x + 1) + 1 (x + 1))]$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))]$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Этап 1.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)]$

Этап 1.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + x + x + 1)]$

Этап 1.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [(11 - x) (x^{2} + 2 x + 1)]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 11 - x$ и $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

$(11 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(11 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Этап 1.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(11 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Этап 1.1.5.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Этап 1.1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(11 - x) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Этап 1.1.5.5

Умножим $2$ на $1$ .

$(11 - x) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Этап 1.1.5.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(11 - x) (2 x + 2 + 0) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Этап 1.1.5.7

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [11 - x]$

Этап 1.1.5.8

По правилу суммы производная $11 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.5.9

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $11$ относительно $x$ равна $0$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.5.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.5.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.5.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.13.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(11 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \cdot - 1$

Этап 1.1.5.13.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2} + 2 x + 1$ .

$(11 - x) (2 x + 2) - 1 \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

Этап 1.1.5.13.3

Перепишем $- 1 (x^{2} + 2 x + 1)$ в виде $- (x^{2} + 2 x + 1)$ .

$(11 - x) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1)$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(11 - x) (2 x + 2) - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(11 - x) (2 x) + (11 - x) \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$11 (2 x) - x (2 x) + (11 - x) \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$11 (2 x) - x (2 x) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Умножим $2$ на $11$ .

$22 x - x (2 x) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$22 x - 2 x \cdot x + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$22 x - 2 (x^{1} x) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$22 x - 2 (x^{1} x^{1}) + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$22 x - 2 x^{1 + 1} + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$22 x - 2 x^{2} + 11 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.7

Умножим $11$ на $2$ .

$22 x - 2 x^{2} + 22 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$22 x - 2 x^{2} + 22 - 2 x - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.9

Вычтем $2 x$ из $22 x$ .

$20 x - 2 x^{2} + 22 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$20 x - 2 x^{2} + 22 - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$20 x - 2 x^{2} + 22 - x^{2} - 2 x - 1$

Этап 1.1.6.5.12

Вычтем $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$20 x - 3 x^{2} + 22 - 2 x - 1$

Этап 1.1.6.5.13

Вычтем $2 x$ из $20 x$ .

$18 x - 3 x^{2} + 22 - 1$

Этап 1.1.6.5.14

Вычтем $1$ из $22$ .

$18 x - 3 x^{2} + 21$

Этап 1.1.6.6

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 18 x + 21$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 18 x + 21$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 21$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 18 x + 21 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 21 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2} + 18 x + 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 18 x + 21 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $- 3$ из $18 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 6 x) + 21 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $21$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 6 x) - 3 \cdot - 7 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2}) - 3 (- 6 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 6 x) - 3 \cdot - 7 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2} - 6 x) - 3 (- 7)$ .

$- 3 (x^{2} - 6 x - 7) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 6 x - 7$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 7$ , а сумма — $- 6$ .

$- 7, 1$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 ((x - 7) (x + 1)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (x - 7) (x + 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 7$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 7$ к $0$ .

$x - 7 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $7$ к обеим частям уравнения.

$x = 7$

Этап 2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 (x - 7) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 7, - 1$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $(11 - x) {(x + 1)}^{2}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $7$ вместо $x$ .

$(11 - (7)) {((7) + 1)}^{2}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Умножим $- 1$ на $7$ .

$(11 - 7) {((7) + 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $7$ из $11$ .

$4 {((7) + 1)}^{2}$

Этап 4.1.2.3

Добавим $7$ и $1$ .

$4 \cdot 8^{2}$

Этап 4.1.2.4

Возведем $8$ в степень $2$ .

$4 \cdot 64$

Этап 4.1.2.5

Умножим $4$ на $64$ .

$256$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $- 1$ вместо $x$ .

$(11 - (- 1)) {((- 1) + 1)}^{2}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(11 + 1) {((- 1) + 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.2

Добавим $11$ и $1$ .

$12 {((- 1) + 1)}^{2}$

Этап 4.2.2.3

Добавим $- 1$ и $1$ .

$12 \cdot 0^{2}$

Этап 4.2.2.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 \cdot 0$

Этап 4.2.2.5

Умножим $12$ на $0$ .

$0$

Этап 4.3

Перечислим все точки.

$(7, 256), (- 1, 0)$

Этап 5