Математический анализ Примеры

$f (x) = (8 - x) {(x + 1)}^{2}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(8 - x) ((x + 1) (x + 1))]$

Этап 1.1.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x (x + 1) + 1 (x + 1))]$

Этап 1.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))]$

Этап 1.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Этап 1.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Этап 1.1.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Этап 1.1.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)]$

Этап 1.1.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x^{2} + x + x + 1)]$

Этап 1.1.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [(8 - x) (x^{2} + 2 x + 1)]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 8 - x$ и $g (x) = x^{2} + 2 x + 1$ .

$(8 - x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1] + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(8 - x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Этап 1.1.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(8 - x) (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Этап 1.1.5.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(8 - x) (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Этап 1.1.5.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(8 - x) (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Этап 1.1.5.5

Умножим $2$ на $1$ .

$(8 - x) (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Этап 1.1.5.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(8 - x) (2 x + 2 + 0) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Этап 1.1.5.7

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [8 - x]$

Этап 1.1.5.8

По правилу суммы производная $8 - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.5.9

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Этап 1.1.5.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 1.1.5.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (- \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.1.5.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) (- 1 \cdot 1)$

Этап 1.1.5.13

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.13.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(8 - x) (2 x + 2) + (x^{2} + 2 x + 1) \cdot - 1$

Этап 1.1.5.13.2

Перенесем $- 1$ влево от $x^{2} + 2 x + 1$ .

$(8 - x) (2 x + 2) - 1 \cdot (x^{2} + 2 x + 1)$

Этап 1.1.5.13.3

Перепишем $- 1 (x^{2} + 2 x + 1)$ в виде $- (x^{2} + 2 x + 1)$ .

$(8 - x) (2 x + 2) - (x^{2} + 2 x + 1)$

Этап 1.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(8 - x) (2 x + 2) - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(8 - x) (2 x) + (8 - x) \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (2 x) - x (2 x) + (8 - x) \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$8 (2 x) - x (2 x) + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.6.5.1

Умножим $2$ на $8$ .

$16 x - x (2 x) + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$16 x - 2 x \cdot x + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$16 x - 2 (x^{1} x) + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$16 x - 2 (x^{1} x^{1}) + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$16 x - 2 x^{1 + 1} + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.6

Добавим $1$ и $1$ .

$16 x - 2 x^{2} + 8 \cdot 2 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.7

Умножим $8$ на $2$ .

$16 x - 2 x^{2} + 16 - x \cdot 2 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$16 x - 2 x^{2} + 16 - 2 x - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.9

Вычтем $2 x$ из $16 x$ .

$14 x - 2 x^{2} + 16 - x^{2} - (2 x) - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.10

Умножим $2$ на $- 1$ .

$14 x - 2 x^{2} + 16 - x^{2} - 2 x - 1 \cdot 1$

Этап 1.1.6.5.11

Умножим $- 1$ на $1$ .

$14 x - 2 x^{2} + 16 - x^{2} - 2 x - 1$

Этап 1.1.6.5.12

Вычтем $x^{2}$ из $- 2 x^{2}$ .

$14 x - 3 x^{2} + 16 - 2 x - 1$

Этап 1.1.6.5.13

Вычтем $2 x$ из $14 x$ .

$12 x - 3 x^{2} + 16 - 1$

Этап 1.1.6.5.14

Вычтем $1$ из $16$ .

$12 x - 3 x^{2} + 15$

Этап 1.1.6.6

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 3 x^{2} + 12 x + 15$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 3 x^{2} + 12 x + 15$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + 15$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 3 x^{2} + 12 x + 15 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + 15 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2} + 12 x + 15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 12 x + 15 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $- 3$ из $12 x$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) + 15 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $- 3$ из $15$ .

$- 3 x^{2} - 3 (- 4 x) - 3 \cdot - 5 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2}) - 3 (- 4 x)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 \cdot - 5 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $- 3$ из $- 3 (x^{2} - 4 x) - 3 (- 5)$ .

$- 3 (x^{2} - 4 x - 5) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 4 x - 5$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 5$ , а сумма — $- 4$ .

$- 5, 1$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$- 3 ((x - 5) (x + 1)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$- 3 (x - 5) (x + 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 2.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $- 3 (x - 5) (x + 1) = 0$ верно.

$x = 5, - 1$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $5, - 1$ .

$5, - 1$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 5) \cup (5, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 3 {(- 2)}^{2} + 12 (- 2) + 15$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f' (- 2) = - 3 \cdot 4 + 12 (- 2) + 15$

Этап 5.2.1.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f' (- 2) = - 12 + 12 (- 2) + 15$

Этап 5.2.1.3

Умножим $12$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = - 12 - 24 + 15$

Этап 5.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Вычтем $24$ из $- 12$ .

$f' (- 2) = - 36 + 15$

Этап 5.2.2.2

Добавим $- 36$ и $15$ .

$f' (- 2) = - 21$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 21$ .

$- 21$

Этап 5.3

При $x = - 2$ производная имеет вид $- 21$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, - 1)$ .

Убывание на $(- \infty, - 1)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- 1, 5)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = - 3 {(2)}^{2} + 12 (2) + 15$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = - 3 \cdot 4 + 12 (2) + 15$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 3$ на $4$ .

$f' (2) = - 12 + 12 (2) + 15$

Этап 6.2.1.3

Умножим $12$ на $2$ .

$f' (2) = - 12 + 24 + 15$

Этап 6.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $- 12$ и $24$ .

$f' (2) = 12 + 15$

Этап 6.2.2.2

Добавим $12$ и $15$ .

$f' (2) = 27$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $27$ .

$27$

Этап 6.3

При $x = 2$ производная имеет вид $27$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- 1, 5)$ .

Возрастание в области $(- 1, 5)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(5, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = - 3 {(6)}^{2} + 12 (6) + 15$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (6) = - 3 \cdot 36 + 12 (6) + 15$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 3$ на $36$ .

$f' (6) = - 108 + 12 (6) + 15$

Этап 7.2.1.3

Умножим $12$ на $6$ .

$f' (6) = - 108 + 72 + 15$

Этап 7.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Добавим $- 108$ и $72$ .

$f' (6) = - 36 + 15$

Этап 7.2.2.2

Добавим $- 36$ и $15$ .

$f' (6) = - 21$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $- 21$ .

$- 21$

Этап 7.3

При $x = 6$ производная имеет вид $- 21$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(5, \infty)$ .

Убывание на $(5, \infty)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- 1, 5)$

Убывание на: $(- \infty, - 1), (5, \infty)$

Этап 9