Математический анализ Примеры

$8^{x} = \frac{5^{x + 2}}{3}$

Этап 1

Возьмем логарифм обеих частей уравнения.

$\ln (8^{x}) = \ln (\frac{5^{x + 2}}{3})$

Этап 2

Развернем $\ln (8^{x})$ , вынося $x$ из логарифма.

$x \ln (8) = \ln (\frac{5^{x + 2}}{3})$

Этап 3

Перепишем $\ln (\frac{5^{x + 2}}{3})$ в виде $\ln (5^{x + 2}) - \ln (3)$ .

$x \ln (8) = \ln (5^{x + 2}) - \ln (3)$

Этап 4

Развернем $\ln (5^{x + 2})$ , вынося $x + 2$ из логарифма.

$x \ln (8) = (x + 2) \ln (5) - \ln (3)$

Этап 5

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим $(x + 2) \ln (5) - \ln (3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x \ln (8) = x \ln (5) + 2 \ln (5) - \ln (3)$

Этап 5.1.1.1.2

Упростим $2 \ln (5)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$x \ln (8) = x \ln (5) + \ln (5^{2}) - \ln (3)$

Этап 5.1.1.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$x \ln (8) = x \ln (5) + \ln (25) - \ln (3)$

Этап 5.1.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (8) = x \ln (5) + \ln (\frac{25}{3})$

Этап 5.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$x \ln (8) - x \ln (5) - \ln (\frac{25}{3}) = 0$

Этап 5.3

Добавим $\ln (\frac{25}{3})$ к обеим частям уравнения.

$x \ln (8) - x \ln (5) = \ln (\frac{25}{3})$

Этап 5.4

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (8) - x \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $x$ из $x \ln (8)$ .

$x (\ln (8)) - x \ln (5) = \ln (\frac{25}{3})$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $x$ из $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (8)) + x (- 1 \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $x$ из $x (\ln (8)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (8) - 1 \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$

Этап 5.5

Перепишем $- 1 \ln (5)$ в виде $- \ln (5)$ .

$x (\ln (8) - \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$

Этап 5.6

Разделим каждый член $x (\ln (8) - \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$ на $\ln (8) - \ln (5)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Разделим каждый член $x (\ln (8) - \ln (5)) = \ln (\frac{25}{3})$ на $\ln (8) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (8) - \ln (5))}{\ln (8) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Этап 5.6.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Сократим общий множитель $\ln (8) - \ln (5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x (\ln (8) - \ln (5))}{\ln (8) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Этап 5.6.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = \frac{\ln (\frac{25}{3})}{\ln (8) - \ln (5)}$

Десятичная форма:

$x = 4.51116417 \dots$