Математический анализ Примеры

$p = \frac{\cos (q) - \sin (q)}{\cos (q)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d q} (p) = \frac{d}{d q} (\frac{\cos (q) - \sin (q)}{\cos (q)})$

Этап 2

Производная $p$ по $q$ равна $p'$ .

$p'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d q} [\frac{f (q)}{g (q)}]$ имеет вид $\frac{g (q) \frac{d}{d q} [f (q)] - f (q) \frac{d}{d q} [g (q)]}{{g (q)}^{2}}$ , где $f (q) = \cos (q) - \sin (q)$ и $g (q) = \cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) \frac{d}{d q} [\cos (q) - \sin (q)] - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\cos (q) - \sin (q)$ по $q$ имеет вид $\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (\frac{d}{d q} [\cos (q)] + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.3

Производная $\cos (q)$ по $q$ равна $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) + \frac{d}{d q} [- \sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $q$ , производная $- \sin (q)$ по $q$ равна $- \frac{d}{d q} [\sin (q)]$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \frac{d}{d q} [\sin (q)]) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.5

Производная $\sin (q)$ по $q$ равна $\cos (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) \frac{d}{d q} [\cos (q)]}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.6

Производная $\cos (q)$ по $q$ равна $- \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) - (\cos (q) - \sin (q)) (- \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + 1 (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.7.2

Умножим $\cos (q) - \sin (q)$ на $1$ .

$\frac{\cos (q) (- \sin (q) - \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + (\cos (q) - \sin (q)) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Объединим противоположные члены в $\cos (q) (- \sin (q)) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (q) (- \sin (q))$ и $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{- \cos (q) \sin (q) + \cos (q) (- \cos (q)) + \cos (q) \sin (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.1.2

Добавим $- \cos (q) \sin (q)$ и $\cos (q) \sin (q)$ .

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) + 0 - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.1.3

Добавим $\cos (q) (- \cos (q))$ и $0$ .

$\frac{\cos (q) (- \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- \cos (q) \cos (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.2.2

Умножим $- \cos (q) \cos (q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.2.1

Возведем $\cos (q)$ в степень $1$ .

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.2.2.2

Возведем $\cos (q)$ в степень $1$ .

$\frac{- (\cos^{1} (q) \cos^{1} (q)) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.2.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- {\cos (q)}^{1 + 1} - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.2.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin (q) \sin (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.2.3

Умножим $- \sin (q) \sin (q)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.2.3.1

Возведем $\sin (q)$ в степень $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin (q))}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.2.3.2

Возведем $\sin (q)$ в степень $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - (\sin^{1} (q) \sin^{1} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.2.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \cos^{2} (q) - {\sin (q)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.2.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \cos^{2} (q) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos^{2} (q)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - \sin^{2} (q)}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin^{2} (q)$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos^{2} (q)) - (\sin^{2} (q))$ .

$\frac{- (\cos^{2} (q) + \sin^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.6

Переставляем члены.

$\frac{- (\sin^{2} (q) + \cos^{2} (q))}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.7

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- 1 \cdot 1}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.3.8

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 1}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{\cos^{2} (q)}$

Этап 3.8.4.2

Переведем $\frac{1}{\cos^{2} (q)}$ в $\sec^{2} (q)$ .

$- \sec^{2} (q)$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$p' = - \sec^{2} (q)$

Этап 5

Заменим $p'$ на $\frac{d p}{d q}$ .

$\frac{d p}{d q} = - \sec^{2} (q)$