Математический анализ Примеры

$y = \frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)})$

Этап 2

Производная $y$ по $x$ равна $y'$ .

$y'$

Этап 3

Продифференцируем правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \sec (x)$ и $g (x) = 1 + \sec (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.2

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

По правилу суммы производная $1 + \sec (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.5

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.6

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(1 \sec (x) + \sec (x) \sec (x)) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.1

Умножим $\sec (x)$ на $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3.1.2

Умножим $\sec (x) \sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.2.1

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3.1.2.2

Возведем $\sec (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3.2

Объединим противоположные члены в $\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x) \tan (x) - \sec^{2} (x) \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.2.1

Вычтем $\sec^{2} (x) \tan (x)$ из $\sec^{2} (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + 0}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 3.9.3.2.2

Добавим $\sec (x) \tan (x)$ и $0$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$y' = \frac{\sec (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

Этап 5

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (x) \tan (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$