Математический анализ Примеры

$f (x) = 15 \sqrt{x (x - 3)}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x (x - 3)}$ в виде ${(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [15 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [{(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$ .

$15 \frac{d}{d x} [{(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x (x - 3)$ .

$15 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$15 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x (x - 3)$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Этап 3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Этап 4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Этап 6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$15 (\frac{1}{2} {(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Этап 7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$15 (\frac{{(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Этап 7.3

Перенесем ${(x (x - 3))}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$15 (\frac{1}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)])$

Этап 7.4

Объединим $\frac{1}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}}$ и $15$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x (x - 3)]$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x - 3$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x \frac{d}{d x} [x - 3] + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x (1 + 0) + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x \cdot 1 + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x - 3) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + (x - 3) \cdot 1)$

Этап 9.6

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (x + x - 3)$

Этап 9.6.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{15}{2 {(x (x - 3))}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 3)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим правило умножения к $x (x - 3)$ .

$\frac{15}{2 (x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}})} (2 x - 3)$

Этап 10.2

Изменим порядок множителей в $\frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}} (2 x - 3)$ .

$(2 x - 3) \frac{15}{2 x^{\frac{1}{2}} {(x - 3)}^{\frac{1}{2}}}$