Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 e^{e^{2 x}}$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 e^{e^{2 x}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [e^{e^{2 x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [e^{e^{2 x}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{2 x}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{2 x}$ .

$2 (e^{e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{2 x}])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $2 x$ .

$2 e^{e^{2 x}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 e^{e^{2 x}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $2 x$ .

$2 e^{e^{2 x}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x])$

Этап 4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 e^{2 x + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 e^{2 x + e^{2 x}} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Умножим $2$ на $2$ .

$4 e^{2 x + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 e^{2 x + e^{2 x}} \cdot 1$

Этап 8

Умножим $4$ на $1$ .

$4 e^{2 x + e^{2 x}}$