Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{2 (x^{2})}{e^{x}}$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 x^{2}}{e^{x}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{e^{x}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{e^{x}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$2 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{{(e^{x})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{x \cdot 2}}$

Этап 3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$2 \frac{e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \frac{e^{x} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{e^{2 x}}$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$2 \frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 5

Объединим $2$ и $\frac{e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$ .

$\frac{2 (e^{x} (2 x) - x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (e^{x} (2 x)) + 2 (- x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 6.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 (2 e^{x} x) + 2 (- x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 (e^{x} x) + 2 (- x^{2} e^{x})}{e^{2 x}}$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4 e^{x} x - 2 x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 6.2.2

Изменим порядок множителей в $4 e^{x} x - 2 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{4 x e^{x} - 2 x^{2} e^{x}}{e^{2 x}}$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{4 e^{x} x - 2 e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $2 e^{x} x$ из $4 e^{x} x - 2 e^{x} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вынесем множитель $2 e^{x} x$ из $4 e^{x} x$ .

$\frac{2 e^{x} x (2) - 2 e^{x} x^{2}}{e^{2 x}}$

Этап 6.4.2

Вынесем множитель $2 e^{x} x$ из $- 2 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{2 e^{x} x (2) + 2 e^{x} x (- x)}{e^{2 x}}$

Этап 6.4.3

Вынесем множитель $2 e^{x} x$ из $2 e^{x} x (2) + 2 e^{x} x (- x)$ .

$\frac{2 e^{x} x (2 - x)}{e^{2 x}}$

Этап 6.5

Сократим общий множитель $e^{x}$ и $e^{2 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $e^{2 x}$ из $2 e^{x} x (2 - x)$ .

$\frac{e^{2 x} (2 e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x}}$

Этап 6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{2 x} (2 e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{2 x} (2 e^{- x} x (2 - x))}{e^{2 x} \cdot 1}$

Этап 6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 e^{- x} x (2 - x)}{1}$

Этап 6.5.2.4

Разделим $2 e^{- x} x (2 - x)$ на $1$ .

$2 e^{- x} x (2 - x)$

Этап 6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$2 e^{- x} x \cdot 2 + 2 e^{- x} x (- x)$

Этап 6.7

Умножим $2$ на $2$ .

$4 e^{- x} x + 2 e^{- x} x (- x)$

Этап 6.8

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Перенесем $x$ .

$4 e^{- x} x + 2 e^{- x} (x \cdot x) \cdot - 1$

Этап 6.8.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 e^{- x} x + 2 e^{- x} x^{2} \cdot - 1$

Этап 6.9

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 e^{- x} x - 2 e^{- x} x^{2}$

Этап 6.10

Изменим порядок множителей в $4 e^{- x} x - 2 e^{- x} x^{2}$ .

$4 x e^{- x} - 2 x^{2} e^{- x}$