Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{2} + 2 y^{2} - \ln (1 - x^{2} - y^{2}) + 1$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 x^{2} + 2 y^{2} - \ln (1 - x^{2} - y^{2}) + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{2}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3

Поскольку $2 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 0 + \frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (1 - x^{2} - y^{2})]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (1 - x^{2} - y^{2})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2} - y^{2})]$ .

$4 x + 0 - \frac{d}{d x} [\ln (1 - x^{2} - y^{2})] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 1 - x^{2} - y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x^{2} - y^{2}$ .

$4 x + 0 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2} - y^{2}$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2} - y^{2}]) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3

По правилу суммы производная $1 - x^{2} - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - (2 x) + \frac{d}{d x} [- y^{2}])) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.7

Поскольку $- y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - (2 x) + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (0 - 2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.9

Вычтем $2 x$ из $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (- 2 x + 0)) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.10

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$4 x + 0 - (\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}} (- 2 x)) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.11

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{1 - x^{2} - y^{2}}$ .

$4 x + 0 - (\frac{- 2}{1 - x^{2} - y^{2}} x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.12

Объединим $\frac{- 2}{1 - x^{2} - y^{2}}$ и $x$ .

$4 x + 0 - \frac{- 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$4 x + 0 - - \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.14

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 x + 0 + 1 \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.15

Умножим $\frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$ на $1$ .

$4 x + 0 + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x + 0 + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Добавим $4 x$ и $0$ .

$4 x + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

Этап 6.1.2

Чтобы записать $4 x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - x^{2} - y^{2}}{1 - x^{2} - y^{2}}$ .

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2})}{1 - x^{2} - y^{2}} + \frac{2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

Этап 6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}} + 0$

Этап 6.1.4

Добавим $\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$ и $0$ .

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{1 - x^{2} - y^{2}}$

Этап 6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{4 x (1 - x^{2} - y^{2}) + 2 x}{- x^{2} - y^{2} + 1}$