Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{2} - 4 x + 1$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{2} - 4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{\frac{4}{3}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{\frac{4}{3}}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{4}{3}$ .

$2 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$2 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$2 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.6.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$2 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.7

Объединим $\frac{4}{3}$ и $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.8

Объединим $2$ и $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.9

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- \frac{2}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ по $x$ равна $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.6.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.7

Объединим $\frac{3}{2}$ и $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.8

Умножим $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.9

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.10

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.11

Сократим общий множитель.

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.12

Разделим $x^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 5.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 4 + 0$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 4$ и $0$ .

$\frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 4$

Этап 7.2

Изменим порядок членов.

$2 x - x^{\frac{1}{2}} + \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} - 4$