Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{4} - 3 x^{3} + x - \sqrt{5} x^{- 2} + 7 x - 3$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 x^{4} - 3 x^{3} + x - \sqrt{5} x^{- 2} + 7 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{4}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 2.3

Умножим $4$ на $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{3}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$8 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$8 x^{3} - 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $- 3$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sqrt{5} x^{- 2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- \sqrt{5}$ является константой относительно $x$ , производная $- \sqrt{5} x^{- 2}$ по $x$ равна $- \sqrt{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 - \sqrt{5} \frac{d}{d x} [x^{- 2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 - \sqrt{5} (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 5.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 6.3

Умножим $7$ на $1$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Этап 7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} x^{- 3} + 7 + 0$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + 2 \sqrt{5} \frac{1}{x^{3}} + 7 + 0$

Этап 8.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{3}}$ и $2$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{2}{x^{3}} \sqrt{5} + 7 + 0$

Этап 8.2.2

Объединим $\frac{2}{x^{3}}$ и $\sqrt{5}$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + 1 + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 7 + 0$

Этап 8.2.3

Добавим $1$ и $7$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8 + 0$

Этап 8.2.4

Добавим $8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8$ и $0$ .

$8 x^{3} - 9 x^{2} + \frac{2 \sqrt{5}}{x^{3}} + 8$