Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3} \cdot (6 x) - \frac{1}{x} + 3 e^{x} - \sin (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 x^{3} \cdot (6 x) - \frac{1}{x} + 3 e^{x} - \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \cdot (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3} \cdot (6 x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3} \cdot (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим $6$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{3} \cdot x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [12 (x^{1} x^{3})] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [12 x^{1 + 3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{d}{d x} [12 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2.5

Поскольку $12$ является константой относительно $x$ , производная $12 x^{4}$ по $x$ равна $12 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$12 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 2.7

Умножим $4$ на $12$ .

$48 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$48 x^{3} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$48 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$48 x^{3} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$48 x^{3} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$48 x^{3} + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3.6

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3.7

Умножим $\frac{1}{x}$ на $0$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 3.8

Добавим $x^{- 2}$ и $0$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 e^{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{x}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 e^{x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 e^{x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 5.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$48 x^{3} + x^{- 2} + 3 e^{x} - \cos (x)$

Этап 6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$48 x^{3} + \frac{1}{x^{2}} + 3 e^{x} - \cos (x)$