Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x^{3.1} - \frac{4}{x^{5}} + 4 \sqrt{x^{5}} - x$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 x^{3.1} - \frac{4}{x^{5}} + 4 \sqrt{x^{5}} - x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3.1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3.1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x^{3.1}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3.1}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3.1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3.1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3.1$ .

$2 (3.1 x^{2.1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3

Умножим $3.1$ на $2$ .

$6.2 x^{2.1} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4}{x^{5}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$6.2 x^{2.1} - 4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{5}}$ в виде ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$6.2 x^{2.1} - 4 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{5}$ .

$6.2 x^{2.1} - 4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$6.2 x^{2.1} - 4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5}$ .

$6.2 x^{2.1} - 4 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$6.2 x^{2.1} - 4 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6.2 x^{2.1} - 4 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.5.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$6.2 x^{2.1} - 4 (- x^{- 10} (5 x^{4})) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.6

Умножим $5$ на $- 1$ .

$6.2 x^{2.1} - 4 (- 5 x^{- 10} x^{4}) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.7

Умножим $x^{- 10}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Перенесем $x^{4}$ .

$6.2 x^{2.1} - 4 (- 5 (x^{4} x^{- 10})) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6.2 x^{2.1} - 4 (- 5 x^{4 - 10}) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.7.3

Вычтем $10$ из $4$ .

$6.2 x^{2.1} - 4 (- 5 x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 3.8

Умножим $- 5$ на $- 4$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 \sqrt{x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{5}}$ в виде $x^{\frac{5}{2}}$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{\frac{5}{2}}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.7.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.8

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.9

Объединим $4$ и $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.10

Умножим $5$ на $4$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.11

Вынесем множитель $2$ из $20 x^{\frac{3}{2}}$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.12

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.12.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.12.2

Сократим общий множитель.

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.12.3

Перепишем это выражение.

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 4.12.4

Разделим $10 x^{\frac{3}{2}}$ на $1$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 10 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [- x]$

Этап 5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 10 x^{\frac{3}{2}} - \frac{d}{d x} [x]$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 10 x^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 1$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 x^{- 6} + 10 x^{\frac{3}{2}} - 1$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6.2 x^{2.1} + 20 \frac{1}{x^{6}} + 10 x^{\frac{3}{2}} - 1$

Этап 6.2

Объединим $20$ и $\frac{1}{x^{6}}$ .

$6.2 x^{2.1} + \frac{20}{x^{6}} + 10 x^{\frac{3}{2}} - 1$

Этап 6.3

Изменим порядок членов.

$\frac{20}{x^{6}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 6.2 x^{2.1} - 1$