Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \ln (\frac{11}{x})$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (\frac{11}{x})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{11}{x})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\frac{11}{x})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{11}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{11}{x}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{11}{x}$ .

$2 (\frac{1}{\frac{11}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{11}{x}$ .

$2 (1 \frac{x}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Этап 4

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{x}{11}$ на $1$ .

$2 (\frac{x}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}])$

Этап 4.2

Объединим $\frac{x}{11}$ и $2$ .

$\frac{x \cdot 2}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}]$

Этап 4.3

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2 \cdot x}{11} \frac{d}{d x} [\frac{11}{x}]$

Этап 5

Поскольку $11$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{11}{x}$ по $x$ равна $11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{2 x}{11} (11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Этап 6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Объединим $11$ и $\frac{2 x}{11}$ .

$\frac{11 (2 x)}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 6.2

Умножим $2$ на $11$ .

$\frac{22 x}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $22$ и $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $11$ из $22 x$ .

$\frac{11 (2 x)}{11} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 6.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Вынесем множитель $11$ из $11$ .

$\frac{11 (2 x)}{11 (1)} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 6.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{11 (2 x)}{11 \cdot 1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 6.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 x}{1} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 6.3.2.4

Разделим $2 x$ на $1$ .

$2 x \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 6.4

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 x \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 x (- x^{- 2})$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 x \cdot x^{- 2}$

Этап 9

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$- 2 (x^{- 2} x)$

Этап 9.2

Умножим $x^{- 2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 2 (x^{- 2} x^{1})$

Этап 9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 x^{- 2 + 1}$

Этап 9.3

Добавим $- 2$ и $1$ .

$- 2 x^{- 1}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x}$

Этап 10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{- 2}{x}$

Этап 10.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2}{x}$