Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \arcsin (\frac{x - 1}{u})$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\arcsin (\frac{x - 1}{u})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arcsin (x)$ и $g (x) = \frac{x - 1}{u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\arcsin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Этап 2.2

Производная $\arcsin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {u_{1}}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\frac{x - 1}{u}$ .

$2 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ и $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{x - 1}{u}]$

Этап 3.2

Поскольку $\frac{1}{u}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x - 1}{u}$ по $x$ равна $\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1]$ .

$\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 1])$

Этап 3.3

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{2}{\sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} (1 + 0)$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}} \cdot 1$

Этап 3.7.2

Умножим $\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$ на $1$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - {(\frac{x - 1}{u})}^{2}}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим правило умножения к $\frac{x - 1}{u}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{1 - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2}}{u^{2}} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$

Этап 4.2.3

Перепишем $\frac{2}{u \sqrt{\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}}}$ в виде $\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Перепишем $\frac{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}{u^{2}}$ в виде ${(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $u^{2} - {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2}}}}$

Этап 4.2.3.1.2

Вынесем полную степень $u^{2}$ из $u^{2}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}}}$

Этап 4.2.3.1.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}{u^{2} \cdot 1}$ .

$\frac{2}{u \sqrt{{(\frac{1}{u})}^{2} (u^{2} - {(x - 1)}^{2})}}$

Этап 4.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{2}{u (\frac{1}{u} \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}})}$

Этап 4.2.4

Объединим $\frac{1}{u}$ и $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{u \frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Этап 4.2.5

Объединим $u$ и $\frac{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}$ .

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Этап 4.2.6

Сократим общий множитель $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{\frac{u \sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}{u}}$

Этап 4.2.6.2

Разделим $\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}$ на $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{u^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$