Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 \ln (\csc (x^{2}))$

Этап 1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \ln (\csc (x^{2}))$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\csc (x^{2}))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \csc (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\csc (x^{2})$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$2 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\csc (x^{2})$ .

$2 (\frac{1}{\csc (x^{2})} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Этап 3

Выразим $\csc (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$2 (\frac{1}{\frac{1}{\sin (x^{2})}} \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Этап 4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

$2 (1 \sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Этап 5

Умножим $\sin (x^{2})$ на $1$ .

$2 (\sin (x^{2}) \frac{d}{d x} [\csc (x^{2})])$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $x^{2}$ .

$2 \sin (x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\csc (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6.2

Производная $\csc (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \csc (u_{2}) \cot (u_{2})$ .

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (u_{2}) \cot (u_{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $x^{2}$ .

$2 \sin (x^{2}) (- \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 \sin (x^{2}) (\csc (x^{2}) \cot (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 2 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) (2 x)$

Этап 7.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Изменим порядок множителей в $- 4 \sin (x^{2}) \csc (x^{2}) \cot (x^{2}) x$ .

$- 4 x \cot (x^{2}) \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Этап 8.2

Выразим $\cot (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Этап 8.3

Умножим $- 4 x \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $- 4$ и $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$x \frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Этап 8.3.2

Объединим $x$ и $\frac{- 4 \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$\frac{x (- 4 \cos (x^{2}))}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Этап 8.4

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$\frac{- 4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Этап 8.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 \cdot x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \csc (x^{2}) \sin (x^{2})$

Этап 8.6

Выразим $\csc (x^{2})$ через синусы и косинусы.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 8.7

Умножим $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})} \cdot \frac{1}{\sin (x^{2})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x^{2})}$ на $\frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 8.7.2

Возведем $\sin (x^{2})$ в степень $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 8.7.3

Возведем $\sin (x^{2})$ в степень $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{1} (x^{2}) \sin^{1} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 8.7.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{{\sin (x^{2})}^{1 + 1}} \sin (x^{2})$

Этап 8.7.5

Добавим $1$ и $1$ .

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 8.8

Сократим общий множитель $\sin (x^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})}$ в числитель.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin^{2} (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 8.8.2

Вынесем множитель $\sin (x^{2})$ из $\sin^{2} (x^{2})$ .

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 8.8.3

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2}) \sin (x^{2})} \sin (x^{2})$

Этап 8.8.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Этап 8.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 x \cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Этап 8.10

Разделим дроби.

$- (\frac{4 x}{1} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})})$

Этап 8.11

Переведем $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ в $\cot (x^{2})$ .

$- (\frac{4 x}{1} \cot (x^{2}))$

Этап 8.12

Разделим $4 x$ на $1$ .

$- (4 x \cot (x^{2}))$

Этап 8.13

Умножим $4$ на $- 1$ .

$- 4 x \cot (x^{2})$