Математический анализ Примеры

$f (x) = 20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})) + 30$

Этап 1

По правилу суммы производная $20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})) + 30$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))] + \frac{d}{d t} [30]$ .

$\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))] + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d t} [20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $20$ является константой относительно $t$ , производная $20 (\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13}))$ по $t$ равна $20 \frac{d}{d t} [\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})]$ .

$20 \frac{d}{d t} [\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})] + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $\frac{t}{12} - \ln (\frac{t}{13})$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [\frac{t}{12}] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]$ .

$20 (\frac{d}{d t} [\frac{t}{12}] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.3

Поскольку $\frac{1}{12}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{t}{12}$ по $t$ равна $\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 (\frac{1}{12} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- \ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- \ln (\frac{t}{13})$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [\ln (\frac{t}{13})]$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - \frac{d}{d t} [\ln (\frac{t}{13})]) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = \frac{t}{13}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{t}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.6.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{t}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} \frac{d}{d t} [\frac{t}{13}])) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.7

Поскольку $\frac{1}{13}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{t}{13}$ по $t$ равна $\frac{1}{13} \frac{d}{d t} [t]$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \frac{d}{d t} [t]))) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$20 (\frac{1}{12} \cdot 1 - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.9

Умножим $\frac{1}{12}$ на $1$ .

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{1}{\frac{t}{13}} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.10

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{t}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} - (1 \frac{13}{t} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.11

Умножим $\frac{13}{t}$ на $1$ .

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{13}{t} (\frac{1}{13} \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.12

Умножим $\frac{1}{13}$ на $1$ .

$20 (\frac{1}{12} - (\frac{13}{t} \cdot \frac{1}{13})) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.13

Умножим $\frac{13}{t}$ на $\frac{1}{13}$ .

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{t \cdot 13}) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.14

Перенесем $13$ влево от $t$ .

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{13 \cdot t}) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.15

Сократим общий множитель $13$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Сократим общий множитель.

$20 (\frac{1}{12} - \frac{13}{13 t}) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 2.15.2

Перепишем это выражение.

$20 (\frac{1}{12} - \frac{1}{t}) + \frac{d}{d t} [30]$

Этап 3

Поскольку $30$ является константой относительно $t$ , производная $30$ относительно $t$ равна $0$ .

$20 (\frac{1}{12} - \frac{1}{t}) + 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$20 (\frac{1}{12}) + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Объединим $20$ и $\frac{1}{12}$ .

$\frac{20}{12} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель $20$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$\frac{4 (5)}{12} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Этап 4.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Этап 4.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \cdot 5}{4 \cdot 3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Этап 4.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{3} + 20 (- \frac{1}{t}) + 0$

Этап 4.2.3

Умножим $- 1$ на $20$ .

$\frac{5}{3} - 20 \frac{1}{t} + 0$

Этап 4.2.4

Объединим $- 20$ и $\frac{1}{t}$ .

$\frac{5}{3} + \frac{- 20}{t} + 0$

Этап 4.2.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5}{3} - \frac{20}{t} + 0$

Этап 4.2.6

Добавим $\frac{5}{3} - \frac{20}{t}$ и $0$ .

$\frac{5}{3} - \frac{20}{t}$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$- \frac{20}{t} + \frac{5}{3}$