Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 e^{1 - x^{2}} \cdot \ln (x)$

Этап 1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 e^{1 - x^{2}} \ln (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}} \ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}} \ln (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{1 - x^{2}}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$3 (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$3 (e^{1 - x^{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Этап 4

Объединим $e^{1 - x^{2}}$ и $\frac{1}{x}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [e^{1 - x^{2}}])$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - x^{2}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - x^{2}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}]))$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

По правилу суммы производная $1 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])))$

Этап 6.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])))$

Этап 6.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Этап 6.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])))$

Этап 6.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- (2 x))))$

Этап 6.6

Умножим $2$ на $- 1$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)))$

Этап 7

Чтобы записать $\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$3 (\frac{e^{1 - x^{2}}}{x} + \frac{\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) x}{x})$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x)) x}{x}$

Этап 9

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 (x^{1} x)))}{x}$

Этап 10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 (x^{1} x^{1})))}{x}$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{1 + 1}))}{x}$

Этап 12

Добавим $1$ и $1$ .

$3 \frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2}))}{x}$

Этап 13

Объединим $3$ и $\frac{e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2}))}{x}$ .

$\frac{3 (e^{1 - x^{2}} + \ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2})))}{x}$

Этап 14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (\ln (x) (e^{1 - x^{2}} (- 2 x^{2})))}{x}$

Этап 14.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (- 2 \ln (x) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Этап 14.2.1.2

Упростим $- 2 \ln (x)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} + 3 (- \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Этап 14.2.1.3

Умножим $3 (- \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - 3 (\ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2}))}{x}$

Этап 14.2.1.3.2

Изменим порядок $\ln (x^{2})$ и $- 3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - 3 \cdot \ln (x^{2}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Этап 14.2.1.3.3

Упростим $- 3 \cdot \ln (x^{2})$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln ({(x^{2})}^{3}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Этап 14.2.1.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{2 \cdot 3}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Этап 14.2.1.4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{6}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})}{x}$

Этап 14.2.2

Изменим порядок множителей в $3 e^{1 - x^{2}} - \ln (x^{6}) (e^{1 - x^{2}} x^{2})$ .

$\frac{3 e^{1 - x^{2}} - x^{2} e^{1 - x^{2}} \ln (x^{6})}{x}$

Этап 14.3

Изменим порядок членов.

$\frac{- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6}) + 3 e^{1 - x^{2}}}{x}$

Этап 14.4

Вынесем множитель $e^{1 - x^{2}}$ из $- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6}) + 3 e^{1 - x^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Вынесем множитель $e^{1 - x^{2}}$ из $- e^{1 - x^{2}} x^{2} \ln (x^{6})$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + 3 e^{1 - x^{2}}}{x}$

Этап 14.4.2

Вынесем множитель $e^{1 - x^{2}}$ из $3 e^{1 - x^{2}}$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + e^{1 - x^{2}} \cdot 3}{x}$

Этап 14.4.3

Вынесем множитель $e^{1 - x^{2}}$ из $e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6})) + e^{1 - x^{2}} \cdot 3$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- x^{2} \ln (x^{6}) + 3)}{x}$

Этап 14.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2} \ln (x^{6})$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6})) + 3)}{x}$

Этап 14.6

Перепишем $3$ в виде $- 1 (- 3)$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6})) - 1 (- 3))}{x}$

Этап 14.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2} \ln (x^{6})) - 1 (- 3)$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- (x^{2} \ln (x^{6}) - 3))}{x}$

Этап 14.8

Перепишем $- (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)$ в виде $- 1 (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)$ .

$\frac{e^{1 - x^{2}} (- 1 (x^{2} \ln (x^{6}) - 3))}{x}$

Этап 14.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{e^{1 - x^{2}} (x^{2} \ln (x^{6}) - 3)}{x}$