Математический анализ Примеры

$f (x) = - 3 \cos^{2} (x) \cdot \sin (x)$

Этап 1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 \cos^{2} (x) \sin (x)$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cos^{2} (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$- 3 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 3 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Этап 4

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\cos^{2} (x)$ на $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$- 3 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Этап 4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Этап 4.2

Добавим $2$ и $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)])$

Этап 5

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + \sin (x) (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]))$

Этап 6

Перенесем $2$ влево от $\sin (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + 2 \cdot \sin (x) \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) (- \sin (x)))$

Этап 8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 \sin (x) \cos (x) \sin (x))$

Этап 9

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) \cos (x))$

Этап 10

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) \cos (x))$

Этап 11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} \cos (x))$

Этап 12

Добавим $1$ и $1$ .

$- 3 (\cos^{3} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 3 \cos^{3} (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x) \cos (x))$

Этап 13.2

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$- 3 \cos^{3} (x) + 6 \sin^{2} (x) \cos (x)$

Этап 13.3

Изменим порядок членов.

$6 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \cos^{3} (x)$