Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 - \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 - \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $3$ является константой относительно $y$ , производная $3$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{6 y}{1 - 2 y^{2}}$ по $y$ равна $- 6 \frac{d}{d y} [\frac{y}{1 - 2 y^{2}}]$ .

$0 - 6 \frac{d}{d y} [\frac{y}{1 - 2 y^{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = y$ и $g (y) = 1 - 2 y^{2}$ .

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \frac{d}{d y} [y] - y \frac{d}{d y} [1 - 2 y^{2}]}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y \frac{d}{d y} [1 - 2 y^{2}]}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.4

По правилу суммы производная $1 - 2 y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ .

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}])}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.5

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y (0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}])}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $y$ , производная $- 2 y^{2}$ по $y$ равна $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y (0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}])}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 - 6 \frac{(1 - 2 y^{2}) \cdot 1 - y (0 - 2 (2 y))}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.8

Умножим $1 - 2 y^{2}$ на $1$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} - y (0 - 2 (2 y))}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $2$ на $- 2$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} - y (0 - 4 y)}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.10

Вычтем $4 y$ из $0$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} - y (- 4 y)}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.11

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 y \cdot y}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.12

Возведем $y$ в степень $1$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 (y^{1} y)}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.13

Возведем $y$ в степень $1$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 (y^{1} y^{1})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 y^{1 + 1}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.15

Добавим $1$ и $1$ .

$0 - 6 \frac{1 - 2 y^{2} + 4 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.16

Добавим $- 2 y^{2}$ и $4 y^{2}$ .

$0 - 6 \frac{1 + 2 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.17

Объединим $- 6$ и $\frac{1 + 2 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$ .

$0 + \frac{- 6 (1 + 2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 2.18

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 - \frac{6 (1 + 2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 - \frac{6 \cdot 1 + 6 (2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $6$ на $1$ .

$0 - \frac{6 + 6 (2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.2

Умножим $2$ на $6$ .

$0 - \frac{6 + 12 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 3.2.3

Вычтем $\frac{6 + 12 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$ из $0$ .

$- \frac{6 + 12 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $6$ из $6 + 12 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$- \frac{6 (1) + 12 y^{2}}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $6$ из $12 y^{2}$ .

$- \frac{6 (1) + 6 (2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $6$ из $6 (1) + 6 (2 y^{2})$ .

$- \frac{6 (1 + 2 y^{2})}{{(1 - 2 y^{2})}^{2}}$