Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 {(x + 1)}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [3 ((x + 1) (x + 1))]$

Этап 2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 (x (x + 1) + 1 (x + 1))]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Этап 3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)]$

Этап 3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)]$

Этап 3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + x + x + 1)]$

Этап 3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{2} + 2 x + 1)]$

Этап 4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 (x^{2} + 2 x + 1)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 1]$

Этап 5

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 7

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 9

Умножим $2$ на $1$ .

$3 (2 x + 2 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 10

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (2 x + 2 + 0)$

Этап 11

Добавим $2 x + 2$ и $0$ .

$3 (2 x + 2)$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (2 x) + 3 \cdot 2$

Этап 12.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + 3 \cdot 2$

Этап 12.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$6 x + 6$