Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x - \ln (4 x - 6)$

Этап 1

По правилу суммы производная $2 x - \ln (4 x - 6)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$

Этап 2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (4 x - 6)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (4 x - 6)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (4 x - 6)]$ .

$2 - \frac{d}{d x} [\ln (4 x - 6)]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 4 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 x - 6$ .

$2 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 6])$

Этап 3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$2 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x - 6])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 x - 6$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} \frac{d}{d x} [4 x - 6])$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $4 x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Этап 3.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6]))$

Этап 3.6

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (4 \cdot 1 + 0))$

Этап 3.7

Умножим $4$ на $1$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} (4 + 0))$

Этап 3.8

Добавим $4$ и $0$ .

$2 - (\frac{1}{4 x - 6} \cdot 4)$

Этап 3.9

Объединим $\frac{1}{4 x - 6}$ и $4$ .

$2 - \frac{4}{4 x - 6}$

Этап 3.10

Сократим общий множитель $4$ и $4 x - 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 - \frac{2 (2)}{4 x - 6}$

Этап 3.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x$ .

$2 - \frac{2 (2)}{2 (2 x) - 6}$

Этап 3.10.2.2

Вынесем множитель $2$ из $- 6$ .

$2 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 x) + 2 \cdot - 3}$

Этап 3.10.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x) + 2 (- 3)$ .

$2 - \frac{2 (2)}{2 (2 x - 3)}$

Этап 3.10.2.4

Сократим общий множитель.

$2 - \frac{2 \cdot 2}{2 (2 x - 3)}$

Этап 3.10.2.5

Перепишем это выражение.

$2 - \frac{2}{2 x - 3}$

Этап 4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x - 3}{2 x - 3}$ .

$\frac{2 (2 x - 3)}{2 x - 3} - \frac{2}{2 x - 3}$

Этап 4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 (2 x - 3) - 2}{2 x - 3}$