Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{4} \sqrt{x} + \frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 x^{4} \sqrt{x} + \frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{4} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} \sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{4} \sqrt{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{4} x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x^{\frac{1}{2}} x^{4})] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2} + 4}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.2.3

Чтобы записать $4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.2.4

Объединим $4$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1 + 4 \cdot 2}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1 + 8}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.2.6.2

Добавим $1$ и $8$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{\frac{9}{2}}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{9}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{9}{2}$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{9 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.8.2

Вычтем $2$ из $9$ .

$3 (\frac{9}{2} x^{\frac{7}{2}}) + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.9

Объединим $\frac{9}{2}$ и $x^{\frac{7}{2}}$ .

$3 \frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.10

Объединим $3$ и $\frac{9 x^{\frac{7}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 (9 x^{\frac{7}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 2.11

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} \sqrt{x}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2} x^{\frac{1}{2}}}]$

Этап 3.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2 + \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.2.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}}}]$

Этап 3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{\frac{4 + 1}{2}}}]$

Этап 3.2.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{- 3}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Этап 3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3}{x^{\frac{5}{2}}}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}]$

Этап 3.5

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{5}{2}}}$ в виде ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{5}{2}})}^{- 1}]$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Этап 3.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Этап 3.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Этап 3.6.3.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Этап 3.6.3.3

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Этап 3.6.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Этап 3.6.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.3.5.1

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{4 + 1}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Этап 3.6.3.5.2

Добавим $4$ и $1$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- {(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Этап 3.8

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{5}{2}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{5}{2} \cdot - 2} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Этап 3.8.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Этап 3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{\frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Этап 3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{5 \cdot - 1} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Этап 3.8.3

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}))$

Этап 3.9

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Этап 3.10

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Этап 3.12

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}))$

Этап 3.12.2

Вычтем $2$ из $5$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}))$

Этап 3.13

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- x^{- 5} \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Этап 3.14

Объединим $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ и $x^{- 5}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{3}{2}} x^{- 5}}{2})$

Этап 3.15

Умножим $x^{\frac{3}{2}}$ на $x^{- 5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.1

Перенесем $x^{- 5}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 (x^{- 5} x^{\frac{3}{2}})}{2})$

Этап 3.15.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{- 5 + \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 3.15.3

Чтобы записать $- 5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{- 5 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 3.15.4

Объединим $- 5$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}}}{2})$

Этап 3.15.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{- 5 \cdot 2 + 3}{2}}}{2})$

Этап 3.15.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.15.6.1

Умножим $- 5$ на $2$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{- 10 + 3}{2}}}{2})$

Этап 3.15.6.2

Добавим $- 10$ и $3$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{\frac{- 7}{2}}}{2})$

Этап 3.15.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5 x^{- \frac{7}{2}}}{2})$

Этап 3.16

Перенесем $x^{- \frac{7}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} - 3 (- \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}})$

Этап 3.17

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + 3 \frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Этап 3.18

Объединим $3$ и $\frac{5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{3 \cdot 5}{2 x^{\frac{7}{2}}}$

Этап 3.19

Умножим $3$ на $5$ .

$\frac{27 x^{\frac{7}{2}}}{2} + \frac{15}{2 x^{\frac{7}{2}}}$