Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x \sin (\frac{1}{x})$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x \sin (\frac{1}{x})$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x \sin (\frac{1}{x})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x \sin (\frac{1}{x})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \sin (\frac{1}{x})$ .

$5 (x \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x})] + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{1}{x}$ .

$5 (x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$5 (x (\cos (u) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{1}{x}$ .

$5 (x (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$5 (x (\cos (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$5 (x (\cos (\frac{1}{x}) (- x^{- 2})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$5 (x^{- 2} x^{1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 (x^{- 2 + 1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Добавим $- 2$ и $1$ .

$5 (x^{- 1} (\cos (\frac{1}{x}) \cdot (- 1)) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.2

Перенесем $- 1$ влево от $\cos (\frac{1}{x})$ .

$5 (x^{- 1} (- 1 \cdot \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7.3

Перепишем $- 1 \cos (\frac{1}{x})$ в виде $- \cos (\frac{1}{x})$ .

$5 (x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}) \cdot 1)$

Этап 9

Умножим $\sin (\frac{1}{x})$ на $1$ .

$5 (x^{- 1} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}))$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{x} (- \cos (\frac{1}{x})) + \sin (\frac{1}{x}))$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (\frac{1}{x} (- \cos (\frac{1}{x}))) + 5 \sin (\frac{1}{x})$

Этап 10.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $\cos (\frac{1}{x})$ .

$5 (- \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x}) + 5 \sin (\frac{1}{x})$

Этап 10.3.2

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \frac{\cos (\frac{1}{x})}{x} + 5 \sin (\frac{1}{x})$

Этап 10.3.3

Объединим $- 5$ и $\frac{\cos (\frac{1}{x})}{x}$ .

$\frac{- 5 \cos (\frac{1}{x})}{x} + 5 \sin (\frac{1}{x})$

Этап 10.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5 \cos (\frac{1}{x})}{x} + 5 \sin (\frac{1}{x})$