Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 \sin (x) \cos (x) - 1$

Этап 1

По правилу суммы производная $5 \sin (x) \cos (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 \sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \sin (x) \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \sin (x) \cos (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$5 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$5 (\sin (x) (- \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$5 (- (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.6

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$5 (- (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 (- {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$5 (- \sin^{2} (x) + \cos (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.9

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$5 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.10

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$5 (- \sin^{2} (x) + \cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5 (- \sin^{2} (x) + {\cos (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.12

Добавим $1$ и $1$ .

$5 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (- \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x)) + 0$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (- \sin^{2} (x)) + 5 \cos^{2} (x) + 0$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 \sin^{2} (x) + 5 \cos^{2} (x) + 0$

Этап 4.2.2

Добавим $- 5 \sin^{2} (x) + 5 \cos^{2} (x)$ и $0$ .

$- 5 \sin^{2} (x) + 5 \cos^{2} (x)$