Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 \sin (x) (3 x^{2} + 2 x + 1)$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \sin (x) (3 x^{2} + 2 x + 1)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\sin (x) (3 x^{2} + 2 x + 1)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\sin (x) (3 x^{2} + 2 x + 1)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = 3 x^{2} + 2 x + 1$ .

$5 (\sin (x) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 2 x + 1] + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 2 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 (\sin (x) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 (\sin (x) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (\sin (x) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.4

Умножим $2$ на $3$ .

$5 (\sin (x) (6 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.5

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $1$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2 + 0) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 3.9

Добавим $6 x + 2$ и $0$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Этап 4

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$5 (\sin (x) (6 x + 2) + (3 x^{2} + 2 x + 1) \cos (x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (\sin (x) (6 x) + \sin (x) \cdot 2 + (3 x^{2} + 2 x + 1) \cos (x))$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (\sin (x) (6 x) + \sin (x) \cdot 2 + 3 x^{2} \cos (x) + 2 x \cos (x) + 1 \cos (x))$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (\sin (x) (6 x)) + 5 (\sin (x) \cdot 2) + 5 (3 x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Этап 5.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Умножим $6$ на $5$ .

$30 (\sin (x) (x)) + 5 (\sin (x) \cdot 2) + 5 (3 x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Этап 5.4.2

Перенесем $2$ влево от $\sin (x)$ .

$30 \sin (x) x + 5 (2 \cdot \sin (x)) + 5 (3 x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Этап 5.4.3

Умножим $2$ на $5$ .

$30 \sin (x) x + 10 \sin (x) + 5 (3 x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Этап 5.4.4

Умножим $3$ на $5$ .

$30 \sin (x) x + 10 \sin (x) + 15 (x^{2} \cos (x)) + 5 (2 x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Этап 5.4.5

Умножим $2$ на $5$ .

$30 \sin (x) x + 10 \sin (x) + 15 x^{2} \cos (x) + 10 (x \cos (x)) + 5 (1 \cos (x))$

Этап 5.4.6

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$30 \sin (x) x + 10 \sin (x) + 15 x^{2} \cos (x) + 10 x \cos (x) + 5 \cos (x)$

Этап 5.5

Изменим порядок членов.

$30 x \sin (x) + 15 x^{2} \cos (x) + 10 x \cos (x) + 10 \sin (x) + 5 \cos (x)$