Математический анализ Примеры

$F (x) = 5 x^{- 2} \cdot e^{x}$

Этап 1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{- 2} e^{x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{- 2} e^{x}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{- 2} e^{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{- 2}$ и $g (x) = e^{x}$ .

$5 (x^{- 2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$5 (x^{- 2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{- 2}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 2$ .

$5 (x^{- 2} e^{x} + e^{x} (- 2 x^{- 3}))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{x^{2}} e^{x} + e^{x} (- 2 x^{- 3}))$

Этап 5.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 (\frac{1}{x^{2}} e^{x} + e^{x} (- 2 \frac{1}{x^{3}}))$

Этап 5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 (\frac{1}{x^{2}} e^{x}) + 5 (e^{x} (- 2 \frac{1}{x^{3}}))$

Этап 5.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Объединим $\frac{1}{x^{2}}$ и $e^{x}$ .

$5 \frac{e^{x}}{x^{2}} + 5 (e^{x} (- 2 \frac{1}{x^{3}}))$

Этап 5.4.2

Объединим $5$ и $\frac{e^{x}}{x^{2}}$ .

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + 5 (e^{x} (- 2 \frac{1}{x^{3}}))$

Этап 5.4.3

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + 5 (e^{x} \frac{- 2}{x^{3}})$

Этап 5.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + 5 (e^{x} (- \frac{2}{x^{3}}))$

Этап 5.4.5

Объединим $e^{x}$ и $\frac{2}{x^{3}}$ .

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + 5 (- \frac{e^{x} \cdot 2}{x^{3}})$

Этап 5.4.6

Перенесем $2$ влево от $e^{x}$ .

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + 5 (- \frac{2 \cdot e^{x}}{x^{3}})$

Этап 5.4.7

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} - 5 \frac{2 e^{x}}{x^{3}}$

Этап 5.4.8

Объединим $- 5$ и $\frac{2 e^{x}}{x^{3}}$ .

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + \frac{- 5 (2 e^{x})}{x^{3}}$

Этап 5.4.9

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} + \frac{- 10 e^{x}}{x^{3}}$

Этап 5.4.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{5 e^{x}}{x^{2}} - \frac{10 e^{x}}{x^{3}}$