Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 + {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 + {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [{(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [{(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Этап 1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ и $g (x) = 9 + 5 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $9 + 5 x$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{5}}] \frac{d}{d x} [9 + 5 x]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{5}$ .

$0 + \frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 5 x]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $9 + 5 x$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [9 + 5 x]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $9 + 5 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [9] + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.3

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [5 x])$

Этап 2.4

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1)$

Этап 2.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{5}{5}$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Этап 2.7

Объединим $- 1$ и $\frac{5}{5}$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Этап 2.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Этап 2.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Этап 2.9.2

Вычтем $5$ из $2$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Этап 2.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)$

Этап 2.11

Умножим $5$ на $1$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5)$

Этап 2.12

Добавим $0$ и $5$ .

$0 + \frac{2}{5} {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5$

Этап 2.13

Объединим $\frac{2}{5}$ и ${(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ .

$0 + \frac{2 {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5$

Этап 2.14

Объединим $\frac{2 {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ и $5$ .

$0 + \frac{2 {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

Этап 2.15

Умножим $5$ на $2$ .

$0 + \frac{10 {(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Этап 2.16

Перенесем ${(9 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{10}{5 {(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Этап 2.17

Вынесем множитель $5$ из $10$ .

$0 + \frac{5 \cdot 2}{5 {(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Этап 2.18

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.18.1

Вынесем множитель $5$ из $5 {(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

$0 + \frac{5 \cdot 2}{5 ({(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

Этап 2.18.2

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{5 \cdot 2}{5 {(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Этап 2.18.3

Перепишем это выражение.

$0 + \frac{2}{{(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $0$ и $\frac{2}{{(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ .

$\frac{2}{{(9 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Этап 3.2

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{{(5 x + 9)}^{\frac{3}{5}}}$