Математический анализ Примеры

$f (x) = 500 (1 + (\frac{4 x}{50 + x^{2}}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [500 (\frac{50 + x^{2}}{50 + x^{2}} + \frac{4 x}{50 + x^{2}})]$

Этап 1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [500 \frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

Этап 1.2.2

Объединим $500$ и $\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}]$

Этап 1.3

Поскольку $500$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{500 (50 + x^{2} + 4 x)}{50 + x^{2}}$ по $x$ равна $500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$ .

$500 \frac{d}{d x} [\frac{50 + x^{2} + 4 x}{50 + x^{2}}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 50 + x^{2} + 4 x$ и $g (x) = 50 + x^{2}$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) \frac{d}{d x} [50 + x^{2} + 4 x] - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $50 + x^{2} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $50$ является константой относительно $x$ , производная $50$ относительно $x$ равна $0$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [4 x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4 \cdot 1) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.7

Умножим $4$ на $1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [50 + x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.8

По правилу суммы производная $50 + x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (\frac{d}{d x} [50] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.9

Поскольку $50$ является константой относительно $x$ , производная $50$ относительно $x$ равна $0$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.10

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - (50 + x^{2} + 4 x) (2 x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.12.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$500 \frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 3.12.2

Объединим $500$ и $\frac{(50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x}{{(50 + x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 (50 + x^{2} + 4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) + (- 2 \cdot 50 - 2 x^{2} - 2 (4 x)) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4) - 2 \cdot 50 x - 2 x^{2} x - 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{500 ((50 + x^{2}) (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Развернем $(50 + x^{2}) (2 x + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{500 (50 (2 x + 4) + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x + 4)) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{500 (50 (2 x) + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.1

Умножим $2$ на $50$ .

$\frac{500 (100 x + 50 \cdot 4 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.2.2

Умножим $50$ на $4$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + x^{2} (2 x) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{2} x + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.2.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.2.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.2.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.2.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.2.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + x^{2} \cdot 4) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.2.5

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{500 (100 x + 200 + 2 x^{3} + 4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{500 (100 x) + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.4.1

Умножим $100$ на $500$ .

$\frac{50000 x + 500 \cdot 200 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.2

Умножим $500$ на $200$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 500 (2 x^{3}) + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.3

Умножим $2$ на $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 500 (4 x^{2}) + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.4.4

Умножим $4$ на $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 2 \cdot 50 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.5

Умножим $- 2$ на $50$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 500 (- 100 x) + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.6

Умножим $- 100$ на $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{2} x) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.7

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.7.1

Перенесем $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x \cdot x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.7.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.7.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 (x^{1} x^{2})) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{1 + 2}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.7.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x + 500 (- 2 x^{3}) + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.8

Умножим $- 2$ на $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x) x)}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.9

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.9.1

Перенесем $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 (x \cdot x)))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.9.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 2 (4 x^{2}))}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.10

Умножим $4$ на $- 2$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} + 500 (- 8 x^{2})}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.1.11

Умножим $- 8$ на $500$ .

$\frac{50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.2

Объединим противоположные члены в $50000 x + 100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 50000 x - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Вычтем $50000 x$ из $50000 x$ .

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} + 0 - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.2.2

Добавим $100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{100000 + 1000 x^{3} + 2000 x^{2} - 1000 x^{3} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.2.3

Вычтем $1000 x^{3}$ из $1000 x^{3}$ .

$\frac{100000 + 2000 x^{2} + 0 - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.2.4

Добавим $100000 + 2000 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{100000 + 2000 x^{2} - 4000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.4.3

Вычтем $4000 x^{2}$ из $2000 x^{2}$ .

$\frac{100000 - 2000 x^{2}}{{(50 + x^{2})}^{2}}$

Этап 4.5

Изменим порядок членов.

$\frac{- 2000 x^{2} + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Этап 4.6

Вынесем множитель $2000$ из $- 2000 x^{2} + 100000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Вынесем множитель $2000$ из $- 2000 x^{2}$ .

$\frac{2000 (- x^{2}) + 100000}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Этап 4.6.2

Вынесем множитель $2000$ из $100000$ .

$\frac{2000 (- x^{2}) + 2000 (50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Этап 4.6.3

Вынесем множитель $2000$ из $2000 (- x^{2}) + 2000 (50)$ .

$\frac{2000 (- x^{2} + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Этап 4.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{2000 (- (x^{2}) + 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Этап 4.8

Перепишем $50$ в виде $- 1 (- 50)$ .

$\frac{2000 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Этап 4.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$\frac{2000 (- (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Этап 4.10

Перепишем $- (x^{2} - 50)$ в виде $- 1 (x^{2} - 50)$ .

$\frac{2000 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$

Этап 4.11

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2000 (x^{2} - 50)}{{(x^{2} + 50)}^{2}}$