Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 \cos (x) \cdot \cos (x) - 10 \sin (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $5 \cos (x) \cdot \cos (x) - 10 \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 \cos (x) \cdot \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (x) \cdot \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 \cos (x) \cdot \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [5 (\cos^{1} (x) \cos (x))] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Этап 2.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [5 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [5 {\cos (x)}^{1 + 1}] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Этап 2.5

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Этап 2.6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Этап 2.6.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Этап 2.7

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$5 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Этап 2.8

Умножим $- 1$ на $2$ .

$5 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Этап 2.9

Умножим $- 2$ на $5$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 \sin (x)$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x) - 10 \cos (x)$