Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 \cos (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{4} \cdot π)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Объединим $π$ и $\frac{3}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{π \cdot 3}{4})]$

Этап 1.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перенесем $3$ влево от $π$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3 \cdot π}{4})]$

Этап 1.2.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})]$

Этап 1.3

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 \cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cos (x)$ и $g (x) = \frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ .

$5 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

Этап 2.2

Производная $\cos (u)$ по $u$ равна $- \sin (u)$ .

$5 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ .

$5 (- \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $5$ .

$- 5 (\sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}]$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Этап 3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{2}}{2}$ по $x$ равна $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{1}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Этап 3.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{2}$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{2}{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Этап 3.5.2

Объединим $\frac{2}{2}$ и $x$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Этап 3.5.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель.

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (\frac{2 x}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Этап 3.5.3.2

Разделим $x$ на $1$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (x + \frac{d}{d x} [- \frac{3 π}{4}])$

Этап 3.6

Поскольку $- \frac{3 π}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{3 π}{4}$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) (x + 0)$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $x$ и $0$ .

$- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) x$

Этап 3.7.2

Изменим порядок множителей в $- 5 \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4}) x$ .

$- 5 x \sin (\frac{x^{2}}{2} - \frac{3 π}{4})$