Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 x {(4 - x^{2})}^{2}$

Этап 1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x {(4 - x^{2})}^{2}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x {(4 - x^{2})}^{2}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(4 - x^{2})}^{2}$ .

$6 (x \frac{d}{d x} [{(4 - x^{2})}^{2}] + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 4 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $4 - x^{2}$ .

$6 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (x (2 u \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $4 - x^{2}$ .

$6 (x (2 (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [4 - x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $4 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$6 (x (2 (4 - x^{2}) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 (x (2 (4 - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$6 (x (2 (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (x (2 (4 - x^{2}) (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 (x (- 2 (4 - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 (x (- 2 (4 - x^{2}) (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.7

Умножим $2$ на $- 2$ .

$6 (x (- 4 (4 - x^{2}) x) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 (x^{1} x (- 4 (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$6 (x^{1} x^{1} (- 4 (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 (x^{1 + 1} (- 4 (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 8

Добавим $1$ и $1$ .

$6 (x^{2} (- 4 (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 (x^{2} (- 4 (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2} \cdot 1)$

Этап 10

Умножим ${(4 - x^{2})}^{2}$ на $1$ .

$6 (x^{2} (- 4 (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2})$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{2} (- 4 \cdot 4 - 4 (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2})$

Этап 11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{2} (- 4 \cdot 4) + x^{2} (- 4 (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{2})$

Этап 11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x^{2} (- 4 \cdot 4)) + 6 (x^{2} (- 4 (- x^{2}))) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

Этап 11.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.1

Умножим $- 4$ на $4$ .

$6 (x^{2} \cdot - 16) + 6 (x^{2} (- 4 (- x^{2}))) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

Этап 11.4.2

Перенесем $- 16$ влево от $x^{2}$ .

$6 (- 16 \cdot x^{2}) + 6 (x^{2} (- 4 (- x^{2}))) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

Этап 11.4.3

Умножим $- 16$ на $6$ .

$- 96 x^{2} + 6 (x^{2} (- 4 (- x^{2}))) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

Этап 11.4.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$- 96 x^{2} + 6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

Этап 11.4.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.4.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$- 96 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

Этап 11.4.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 96 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

Этап 11.4.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$- 96 x^{2} + 6 (x^{4} \cdot 4) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

Этап 11.4.6

Перенесем $4$ влево от $x^{4}$ .

$- 96 x^{2} + 6 (4 \cdot x^{4}) + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

Этап 11.4.7

Умножим $4$ на $6$ .

$- 96 x^{2} + 24 x^{4} + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 {(4 - x^{2})}^{2}$

Этап 11.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.1

Перепишем ${(4 - x^{2})}^{2}$ в виде $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ .

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 ((4 - x^{2}) (4 - x^{2}))$

Этап 11.6.2

Развернем $(4 - x^{2}) (4 - x^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (4 (4 - x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}))$

Этап 11.6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} (4 - x^{2}))$

Этап 11.6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (4 \cdot 4 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}))$

Этап 11.6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.3.1.1

Умножим $4$ на $4$ .

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 + 4 (- x^{2}) - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}))$

Этап 11.6.3.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - x^{2} \cdot 4 - x^{2} (- x^{2}))$

Этап 11.6.3.1.3

Умножим $4$ на $- 1$ .

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - x^{2} (- x^{2}))$

Этап 11.6.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2} x^{2})$

Этап 11.6.3.1.5

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.3.1.5.1

Перенесем $x^{2}$ .

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 (x^{2} x^{2}))$

Этап 11.6.3.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{2 + 2})$

Этап 11.6.3.1.5.3

Добавим $2$ и $2$ .

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} - 1 \cdot - 1 x^{4})$

Этап 11.6.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + 1 x^{4})$

Этап 11.6.3.1.7

Умножим $x^{4}$ на $1$ .

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 4 x^{2} - 4 x^{2} + x^{4})$

Этап 11.6.3.2

Вычтем $4 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 (16 - 8 x^{2} + x^{4})$

Этап 11.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 6 \cdot 16 + 6 (- 8 x^{2}) + 6 x^{4}$

Этап 11.6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.6.5.1

Умножим $6$ на $16$ .

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 96 + 6 (- 8 x^{2}) + 6 x^{4}$

Этап 11.6.5.2

Умножим $- 8$ на $6$ .

$24 x^{4} - 96 x^{2} + 96 - 48 x^{2} + 6 x^{4}$

Этап 11.7

Добавим $24 x^{4}$ и $6 x^{4}$ .

$30 x^{4} - 96 x^{2} + 96 - 48 x^{2}$

Этап 11.8

Вычтем $48 x^{2}$ из $- 96 x^{2}$ .

$30 x^{4} - 144 x^{2} + 96$