Математический анализ Примеры

$f (x) = - 6 \csc (\sqrt{5 x + 3})$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{5 x + 3}$ в виде ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 1.2

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 (\frac{d}{d u_{1}} [\csc (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.2

Производная $\csc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \csc (u_{1}) \cot (u_{1})$ .

$- 6 (- \csc (u_{1}) \cot (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$- 6 (- \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$6 (\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $5 x + 3$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $5 x + 3$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Этап 5

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Этап 6

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Этап 8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Этап 8.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Этап 9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Этап 10

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Этап 11

Перенесем ${(5 x + 3)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3])$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $6$ .

$\frac{6}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Этап 13

Объединим $\frac{6}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $\csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Этап 14

Объединим $\frac{6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $\cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Этап 15

Вынесем множитель $2$ из $6 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Этап 16

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Этап 16.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}))}{2 {(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Этап 16.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x + 3]$

Этап 17

По правилу суммы производная $5 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 18

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 19

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 20

Умножим $5$ на $1$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + \frac{d}{d x} [3])$

Этап 21

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} (5 + 0)$

Этап 22

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.1

Добавим $5$ и $0$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 5$

Этап 22.2

Объединим $\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$ и $5$ .

$\frac{3 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cdot 5}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 22.3.1

Умножим $5$ на $3$ .

$\frac{15 \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 22.3.2

Изменим порядок членов.

$\frac{15 \cot ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}) \csc ({(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}{{(5 x + 3)}^{\frac{1}{2}}}$