Математический анализ Примеры

$f (x) = 7.2956 \ln (0.0645012 x^{0.95} + 1) (200)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $200$ на $7.2956$ .

$\frac{d}{d x} [1459.12 \ln (0.0645012 x^{0.95} + 1)]$

Этап 1.2

Поскольку $1459.12$ является константой относительно $x$ , производная $1459.12 \ln (0.0645012 x^{0.95} + 1)$ по $x$ равна $1459.12 \frac{d}{d x} [\ln (0.0645012 x^{0.95} + 1)]$ .

$1459.12 \frac{d}{d x} [\ln (0.0645012 x^{0.95} + 1)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 0.0645012 x^{0.95} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $0.0645012 x^{0.95} + 1$ .

$1459.12 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [0.0645012 x^{0.95} + 1])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$1459.12 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [0.0645012 x^{0.95} + 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $0.0645012 x^{0.95} + 1$ .

$1459.12 (\frac{1}{0.0645012 x^{0.95} + 1} \frac{d}{d x} [0.0645012 x^{0.95} + 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{0.0645012 x^{0.95} + 1}$ и $1459.12$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} \frac{d}{d x} [0.0645012 x^{0.95} + 1]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $0.0645012 x^{0.95} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.0645012 x^{0.95}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} (\frac{d}{d x} [0.0645012 x^{0.95}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.3

Поскольку $0.0645012$ является константой относительно $x$ , производная $0.0645012 x^{0.95}$ по $x$ равна $0.0645012 \frac{d}{d x} [x^{0.95}]$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} (0.0645012 \frac{d}{d x} [x^{0.95}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 0.95$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} (0.0645012 (0.95 x^{- 0.05}) + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.5

Умножим $0.95$ на $0.0645012$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} (0.06127614 x^{- 0.05} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} (0.06127614 x^{- 0.05} + 0)$

Этап 3.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $0.06127614 x^{- 0.05}$ и $0$ .

$\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} (0.06127614 x^{- 0.05})$

Этап 3.7.2

Объединим $0.06127614$ и $\frac{1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1}$ .

$\frac{0.06127614 \cdot 1459.12}{0.0645012 x^{0.95} + 1} x^{- 0.05}$

Этап 3.7.3

Умножим $0.06127614$ на $1459.12$ .

$\frac{89.40924139}{0.0645012 x^{0.95} + 1} x^{- 0.05}$

Этап 3.7.4

Объединим $\frac{89.40924139}{0.0645012 x^{0.95} + 1}$ и $x^{- 0.05}$ .

$\frac{89.40924139 x^{- 0.05}}{0.0645012 x^{0.95} + 1}$

Этап 3.7.5

Перенесем $x^{- 0.05}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{89.40924139}{(0.0645012 x^{0.95} + 1) x^{0.05}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{89.40924139}{0.0645012 x^{0.95} x^{0.05} + 1 x^{0.05}}$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $x^{0.95}$ на $x^{0.05}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Перенесем $x^{0.05}$ .

$\frac{89.40924139}{0.0645012 (x^{0.05} x^{0.95}) + 1 x^{0.05}}$

Этап 4.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{89.40924139}{0.0645012 x^{0.05 + 0.95} + 1 x^{0.05}}$

Этап 4.2.1.3

Добавим $0.05$ и $0.95$ .

$\frac{89.40924139}{0.0645012 x^{1} + 1 x^{0.05}}$

Этап 4.2.2

Упростим $0.0645012 x^{1}$ .

$\frac{89.40924139}{0.0645012 x + 1 x^{0.05}}$

Этап 4.2.3

Умножим $x^{0.05}$ на $1$ .

$\frac{89.40924139}{0.0645012 x + x^{0.05}}$