Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) - 2$

Этап 1

По правилу суммы производная $7 \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возведем $\cos (6 x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 (\cos^{1} (6 x) \cos (6 x)) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.2

Возведем $\cos (6 x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 (\cos^{1} (6 x) \cos^{1} (6 x)) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [7 {\cos (6 x)}^{1 + 1} \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cos^{2} (6 x) \cdot \cos (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.5

Возведем $\cos (6 x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 (\cos^{1} (6 x) \cos^{2} (6 x)) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [7 {\cos (6 x)}^{1 + 2} \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.7

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cos^{3} (6 x) \cdot \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.8

Возведем $\cos (6 x)$ в степень $1$ .

$\frac{d}{d x} [7 (\cos^{1} (6 x) \cos^{3} (6 x))] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d}{d x} [7 {\cos (6 x)}^{1 + 3}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.10

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{d}{d x} [7 \cos^{4} (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.11

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 \cos^{4} (6 x)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (6 x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [\cos^{4} (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \cos (6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.12.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cos (6 x)$ .

$7 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.12.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$7 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.12.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cos (6 x)$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.13

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.13.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $6 x$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.13.2

Производная $\cos (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $- \sin (u_{2})$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.13.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $6 x$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.14

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.15

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (- \sin (6 x) (6 \cdot 1))) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.16

Умножим $6$ на $1$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (- \sin (6 x) \cdot 6)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.17

Умножим $6$ на $- 1$ .

$7 (4 \cos^{3} (6 x) (- 6 \sin (6 x))) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.18

Умножим $- 6$ на $4$ .

$7 (- 24 \cos^{3} (6 x) \sin (6 x)) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 2.19

Умножим $- 24$ на $7$ .

$- 168 \cos^{3} (6 x) \sin (6 x) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 168 \cos^{3} (6 x) \sin (6 x) + 0$

Этап 3.2

Добавим $- 168 \cos^{3} (6 x) \sin (6 x)$ и $0$ .

$- 168 \cos^{3} (6 x) \sin (6 x)$