Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 x + \frac{2 x - \frac{2}{3}}{3}$

Этап 1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x - \frac{2}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (x) - \frac{2}{3}}{3}]$

Этап 1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- \frac{2}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (x) + 2 (- \frac{1}{3})}{3}]$

Этап 1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (- \frac{1}{3})$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (x - \frac{1}{3})}{3}]$

Этап 1.2

Чтобы записать $x$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (x \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})}{3}]$

Этап 1.3

Объединим $x$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (\frac{x \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})}{3}]$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 \frac{x \cdot 3 - 1}{3}}{3}]$

Этап 1.5

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 \frac{3 x - 1}{3}}{3}]$

Этап 2

Объединим $2$ и $\frac{3 x - 1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{\frac{2 (3 x - 1)}{3}}{3}]$

Этап 3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (3 x - 1)}{3} \cdot \frac{1}{3}]$

Этап 4

Умножим $\frac{2 (3 x - 1)}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $\frac{2 (3 x - 1)}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (3 x - 1)}{3 \cdot 3}]$

Этап 4.2

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{d}{d x} [8 x + \frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Этап 5

По правилу суммы производная $8 x + \frac{2 (3 x - 1)}{9}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Этап 6

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Этап 6.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Этап 6.3

Умножим $8$ на $1$ .

$8 + \frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$

Этап 7

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{2 (3 x - 1)}{9}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $\frac{2}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{2 (3 x - 1)}{9}$ по $x$ равна $\frac{2}{9} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$ .

$8 + \frac{2}{9} \frac{d}{d x} [3 x - 1]$

Этап 7.2

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$8 + \frac{2}{9} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 7.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 + \frac{2}{9} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 7.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$8 + \frac{2}{9} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 7.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$8 + \frac{2}{9} (3 \cdot 1 + 0)$

Этап 7.6

Умножим $3$ на $1$ .

$8 + \frac{2}{9} (3 + 0)$

Этап 7.7

Добавим $3$ и $0$ .

$8 + \frac{2}{9} \cdot 3$

Этап 7.8

Объединим $\frac{2}{9}$ и $3$ .

$8 + \frac{2 \cdot 3}{9}$

Этап 7.9

Умножим $2$ на $3$ .

$8 + \frac{6}{9}$

Этап 7.10

Сократим общий множитель $6$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$8 + \frac{3 (2)}{9}$

Этап 7.10.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.10.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$8 + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Этап 7.10.2.2

Сократим общий множитель.

$8 + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 3}$

Этап 7.10.2.3

Перепишем это выражение.

$8 + \frac{2}{3}$

Этап 8

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$8 \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 8.2

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} + \frac{2}{3}$

Этап 8.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 \cdot 3 + 2}{3}$

Этап 8.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $8$ на $3$ .

$\frac{24 + 2}{3}$

Этап 8.4.2

Добавим $24$ и $2$ .

$\frac{26}{3}$