Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 \arctan (x) - 4 x + 1$

Этап 1

По правилу суммы производная $8 \arctan (x) - 4 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [8 \arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [8 \arctan (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \arctan (x)$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.2

Производная $\arctan (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$8 \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3

Объединим $8$ и $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 + 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} - 4 \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}} + 0$

Этап 5.1.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{8}{1 + x^{2}} + \frac{- 4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + 0$

Этап 5.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 - 4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} + 0$

Этап 5.1.4

Добавим $\frac{8 - 4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$ и $0$ .

$\frac{8 - 4 (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

Этап 5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{8 - 4 (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$