Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 + \sqrt{520 x - 2 x^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $8 + \sqrt{520 x - 2 x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [8] + \frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$

Этап 1.2

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sqrt{520 x - 2 x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{520 x - 2 x^{2}}$ в виде ${(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{d}{d x} [{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 520 x - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $520 x - 2 x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [520 x - 2 x^{2}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [520 x - 2 x^{2}]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $520 x - 2 x^{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [520 x - 2 x^{2}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $520 x - 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [520 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [520 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Этап 2.4

Поскольку $520$ является константой относительно $x$ , производная $520 x$ по $x$ равна $520 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Этап 2.6

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \cdot 1 - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 2.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Этап 2.8

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Этап 2.9

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Этап 2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Этап 2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Этап 2.11.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Этап 2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (520 \cdot 1 - 2 (2 x))$

Этап 2.13

Умножим $520$ на $1$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (520 - 2 (2 x))$

Этап 2.14

Умножим $2$ на $- 2$ .

$0 + \frac{1}{2} {(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (520 - 4 x)$

Этап 2.15

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$0 + \frac{{(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (520 - 4 x)$

Этап 2.16

Перенесем ${(520 x - 2 x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $0$ и $\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$ .

$\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (520 - 4 x)$ .

$(520 - 4 x) \frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3

Умножим $520 - 4 x$ на $\frac{1}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{520 - 4 x}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $2$ из $520$ .

$\frac{2 \cdot 260 - 4 x}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $2$ из $- 4 x$ .

$\frac{2 \cdot 260 + 2 (- 2 x)}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $2$ из $2 (260) + 2 (- 2 x)$ .

$\frac{2 (260 - 2 x)}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.7

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (260 - 2 x)}{2 ({(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 3.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (260 - 2 x)}{2 {(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{260 - 2 x}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $2$ из $260 - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Вынесем множитель $2$ из $260$ .

$\frac{2 (130) - 2 x}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.8.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (130) + 2 (- x)}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.8.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (130) + 2 (- x)$ .

$\frac{2 (130 - x)}{{(520 x - 2 x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$