Математический анализ Примеры

$f (x) = 8 \ln ({(x)}^{\frac{7}{2}})$

Этап 1

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 \ln (x^{\frac{7}{2}})$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{7}{2}})]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{7}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{\frac{7}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{7}{2}}$ .

$8 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Этап 2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$8 (\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{x^{\frac{7}{2}}}$ и $8$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1})$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}})$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}})$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $7$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}})$

Этап 8

Объединим $\frac{7}{2}$ и $x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$

Этап 9

Умножим $\frac{8}{x^{\frac{7}{2}}}$ на $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 (7 x^{\frac{5}{2}})}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Этап 10

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $7$ на $8$ .

$\frac{56 x^{\frac{5}{2}}}{x^{\frac{7}{2}} \cdot 2}$

Этап 10.2

Перенесем $2$ влево от $x^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{56 x^{\frac{5}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{7}{2}}}$

Этап 10.3

Перенесем $x^{\frac{5}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{56}{2 x^{\frac{7}{2}} x^{- \frac{5}{2}}}$

Этап 11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $x^{\frac{7}{2}}$ на $x^{- \frac{5}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Перенесем $x^{- \frac{5}{2}}$ .

$\frac{56}{2 (x^{- \frac{5}{2}} x^{\frac{7}{2}})}$

Этап 11.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{56}{2 x^{- \frac{5}{2} + \frac{7}{2}}}$

Этап 11.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{56}{2 x^{\frac{- 5 + 7}{2}}}$

Этап 11.1.4

Добавим $- 5$ и $7$ .

$\frac{56}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

Этап 11.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{56}{2 x^{1}}$

Этап 11.2

Упростим $2 x^{1}$ .

$\frac{56}{2 x}$

Этап 12

Сократим общий множитель $56$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Вынесем множитель $2$ из $56$ .

$\frac{2 \cdot 28}{2 x}$

Этап 12.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$\frac{2 \cdot 28}{2 (x)}$

Этап 12.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 28}{2 x}$

Этап 12.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{28}{x}$