Математический анализ Примеры

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt{x}}$ в виде ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Умножим ${\displaystyle x^6}$ на ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$, сложив экспоненты.

Поскольку ${\displaystyle 7}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 7x^{\frac{13}{2}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 7\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{13}{2}}\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{13}{2}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Объединим ${\displaystyle \frac{13}{2}}$ и ${\displaystyle x^{\frac{11}{2}}}$.

Объединим ${\displaystyle 7}$ и ${\displaystyle \frac{13x^{\frac{11}{2}}}{2}}$.

Умножим ${\displaystyle 13}$ на ${\displaystyle 7}$.

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt{x}}$ в виде ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Поскольку ${\displaystyle -3}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{3}{x^{2x^{\frac{1}{2}}}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -3\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{2x^{\frac{1}{2}}}}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^{2x^{\frac{1}{2}}}}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^{2x^{\frac{1}{2}}}\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{2x^{\frac{1}{2}}}}$.

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=e^x}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=2x^{\frac{1}{2}}\ln \left(x\right)}$.

Поскольку ${\displaystyle 2}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 2x^{\frac{1}{2}}\ln \left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[x^{\frac{1}{2}}\ln \left(x\right)\right]}$.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\ln \left(x\right)}$.

Производная ${\displaystyle \ln \left(x\right)}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(x^{2x^{\frac{1}{2}}}\right)}^{-2}}$.

Объединим ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$ и ${\displaystyle \frac{1}{x}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^n=\frac{1}{b^{-n}}}$.

Умножим ${\displaystyle x}$ на ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$, сложив экспоненты.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$.

Объединим ${\displaystyle \ln \left(x\right)}$ и ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}}$.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle -2}$ на ${\displaystyle -3}$.

Применим свойство дистрибутивности.

Применим свойство дистрибутивности.

Объединим термины.