Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 {(8 x + 1)}^{5} {(8 x - 1)}^{2}$

Этап 1

Перепишем ${(8 x - 1)}^{2}$ в виде $(8 x - 1) (8 x - 1)$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} ((8 x - 1) (8 x - 1))]$

Этап 2

Развернем $(8 x - 1) (8 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x - 1) - 1 (8 x - 1))]$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x - 1))]$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 x (8 x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.3

Умножим $8$ на $8$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} + 8 x \cdot - 1 - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.4

Умножим $- 1$ на $8$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 1 (8 x) - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.5

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 8 x - 1 \cdot - 1)]$

Этап 3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 8 x - 8 x + 1)]$

Этап 3.2

Вычтем $8 x$ из $- 8 x$ .

$\frac{d}{d x} [7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$

Этап 4

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 {(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5} (64 x^{2} - 16 x + 1)]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = {(8 x + 1)}^{5}$ и $g (x) = 64 x^{2} - 16 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [64 x^{2} - 16 x + 1] + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

По правилу суммы производная $64 x^{2} - 16 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Этап 6.2

Поскольку $64$ является константой относительно $x$ , производная $64 x^{2}$ по $x$ равна $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Этап 6.4

Умножим $2$ на $64$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Этап 6.5

Поскольку $- 16$ является константой относительно $x$ , производная $- 16 x$ по $x$ равна $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Этап 6.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Этап 6.7

Умножим $- 16$ на $1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 + \frac{d}{d x} [1]) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Этап 6.8

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16 + 0) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Этап 6.9

Добавим $128 x - 16$ и $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) \frac{d}{d x} [{(8 x + 1)}^{5}])$

Этап 7

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = 8 x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $8 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (5 u^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u$ на $8 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (64 x^{2} - 16 x + 1) (5 {(8 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1]))$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем $5$ влево от $64 x^{2} - 16 x + 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 \cdot (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [8 x + 1])$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $8 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 8.3

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8 x$ по $x$ равна $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 8.5

Умножим $8$ на $1$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 + \frac{d}{d x} [1]))$

Этап 8.6

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} (8 + 0))$

Этап 8.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Добавим $8$ и $0$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 5 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4} \cdot 8)$

Этап 8.7.2

Умножим $8$ на $5$ .

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 40 (64 x^{2} - 16 x + 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + (40 (64 x^{2}) + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$7 ({(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16)) + 7 ((40 (64 x^{2}) + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Этап 9.3

Умножим $64$ на $40$ .

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} + 40 (- 16 x) + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Этап 9.4

Умножим $- 16$ на $40$ .

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} - 640 x + 40 \cdot 1) {(8 x + 1)}^{4})$

Этап 9.5

Умножим $40$ на $1$ .

$7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 ((2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4})$

Этап 9.6

Вынесем множитель $7 {(8 x + 1)}^{4}$ из $7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16) + 7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Вынесем множитель $7 {(8 x + 1)}^{4}$ из $7 {(8 x + 1)}^{5} (128 x - 16)$ .

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$

Этап 9.6.2

Вынесем множитель $7 {(8 x + 1)}^{4}$ из $7 (2560 x^{2} - 640 x + 40) {(8 x + 1)}^{4}$ .

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 {(8 x + 1)}^{4} (2560 x^{2} - 640 x + 40)$

Этап 9.6.3

Вынесем множитель $7 {(8 x + 1)}^{4}$ из $7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16)) + 7 {(8 x + 1)}^{4} (2560 x^{2} - 640 x + 40)$ .

$7 {(8 x + 1)}^{4} ((8 x + 1) (128 x - 16) + 2560 x^{2} - 640 x + 40)$