Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{3} e^{\ln ({(6 x^{3} - 5)}^{2})}$

Этап 1

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\frac{d}{d x} [4 x^{3} {(6 x^{3} - 5)}^{2}]$

Этап 2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3} {(6 x^{3} - 5)}^{2}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3} {(6 x^{3} - 5)}^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3} {(6 x^{3} - 5)}^{2}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = {(6 x^{3} - 5)}^{2}$ .

$4 (x^{3} \frac{d}{d x} [{(6 x^{3} - 5)}^{2}] + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 6 x^{3} - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $6 x^{3} - 5$ .

$4 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 5]) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 (x^{3} (2 u \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 5]) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u$ на $6 x^{3} - 5$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) \frac{d}{d x} [6 x^{3} - 5]) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $6 x^{3} - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5.2

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 x^{3}$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5.4

Умножим $3$ на $6$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (18 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5])) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (18 x^{2} + 0)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Добавим $18 x^{2}$ и $0$ .

$4 (x^{3} (2 (6 x^{3} - 5) (18 x^{2})) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 5.6.2

Умножим $18$ на $2$ .

$4 (x^{3} (36 (6 x^{3} - 5) x^{2}) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 6

Умножим $x^{3}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $x^{2}$ .

$4 (x^{2} x^{3} (36 (6 x^{3} - 5)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (x^{2 + 3} (36 (6 x^{3} - 5)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 6.3

Добавим $2$ и $3$ .

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3} - 5)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3} - 5)) + {(6 x^{3} - 5)}^{2} (3 x^{2}))$

Этап 8

Перенесем $3$ влево от ${(6 x^{3} - 5)}^{2}$ .

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3} - 5)) + 3 \cdot {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3}) + 36 \cdot - 5) + 3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3})) + x^{5} (36 \cdot - 5) + 3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x^{5} (36 (6 x^{3}))) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $6$ на $36$ .

$4 (x^{5} (216 x^{3})) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9.4.2

Умножим $x^{5}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$4 (x^{3} x^{5} \cdot 216) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 (x^{3 + 5} \cdot 216) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9.4.2.3

Добавим $3$ и $5$ .

$4 (x^{8} \cdot 216) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9.4.3

Перенесем $216$ влево от $x^{8}$ .

$4 (216 \cdot x^{8}) + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9.4.4

Умножим $216$ на $4$ .

$864 x^{8} + 4 (x^{5} (36 \cdot - 5)) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9.4.5

Умножим $36$ на $- 5$ .

$864 x^{8} + 4 (x^{5} \cdot - 180) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9.4.6

Перенесем $- 180$ влево от $x^{5}$ .

$864 x^{8} + 4 (- 180 \cdot x^{5}) + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9.4.7

Умножим $- 180$ на $4$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 4 (3 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2})$

Этап 9.4.8

Умножим $3$ на $4$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 {(6 x^{3} - 5)}^{2} x^{2}$

Этап 9.5

Изменим порядок членов.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} {(6 x^{3} - 5)}^{2}$

Этап 9.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.1

Перепишем ${(6 x^{3} - 5)}^{2}$ в виде $(6 x^{3} - 5) (6 x^{3} - 5)$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} ((6 x^{3} - 5) (6 x^{3} - 5))$

Этап 9.6.2

Развернем $(6 x^{3} - 5) (6 x^{3} - 5)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 x^{3} (6 x^{3} - 5) - 5 (6 x^{3} - 5))$

Этап 9.6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 x^{3} (6 x^{3}) + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3} - 5))$

Этап 9.6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 x^{3} (6 x^{3}) + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Этап 9.6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 \cdot 6 x^{3} x^{3} + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Этап 9.6.3.1.2

Умножим $x^{3}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.3.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 \cdot 6 (x^{3} x^{3}) + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Этап 9.6.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 \cdot 6 x^{3 + 3} + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Этап 9.6.3.1.2.3

Добавим $3$ и $3$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (6 \cdot 6 x^{6} + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Этап 9.6.3.1.3

Умножим $6$ на $6$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} + 6 x^{3} \cdot - 5 - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Этап 9.6.3.1.4

Умножим $- 5$ на $6$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} - 30 x^{3} - 5 (6 x^{3}) - 5 \cdot - 5)$

Этап 9.6.3.1.5

Умножим $6$ на $- 5$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} - 30 x^{3} - 30 x^{3} - 5 \cdot - 5)$

Этап 9.6.3.1.6

Умножим $- 5$ на $- 5$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} - 30 x^{3} - 30 x^{3} + 25)$

Этап 9.6.3.2

Вычтем $30 x^{3}$ из $- 30 x^{3}$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6} - 60 x^{3} + 25)$

Этап 9.6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 x^{2} (36 x^{6}) + 12 x^{2} (- 60 x^{3}) + 12 x^{2} \cdot 25$

Этап 9.6.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.5.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{2} x^{6} + 12 x^{2} (- 60 x^{3}) + 12 x^{2} \cdot 25$

Этап 9.6.5.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{2} x^{6} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 12 x^{2} \cdot 25$

Этап 9.6.5.3

Умножим $25$ на $12$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{2} x^{6} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

Этап 9.6.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.6.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{6}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.6.1.1

Перенесем $x^{6}$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 (x^{6} x^{2}) + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

Этап 9.6.6.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{6 + 2} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

Этап 9.6.6.1.3

Добавим $6$ и $2$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 12 \cdot 36 x^{8} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

Этап 9.6.6.2

Умножим $12$ на $36$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} + 12 \cdot - 60 x^{2} x^{3} + 300 x^{2}$

Этап 9.6.6.3

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.6.6.3.1

Перенесем $x^{3}$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} + 12 \cdot - 60 (x^{3} x^{2}) + 300 x^{2}$

Этап 9.6.6.3.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} + 12 \cdot - 60 x^{3 + 2} + 300 x^{2}$

Этап 9.6.6.3.3

Добавим $3$ и $2$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} + 12 \cdot - 60 x^{5} + 300 x^{2}$

Этап 9.6.6.4

Умножим $12$ на $- 60$ .

$864 x^{8} - 720 x^{5} + 432 x^{8} - 720 x^{5} + 300 x^{2}$

Этап 9.7

Добавим $864 x^{8}$ и $432 x^{8}$ .

$1296 x^{8} - 720 x^{5} - 720 x^{5} + 300 x^{2}$

Этап 9.8

Вычтем $720 x^{5}$ из $- 720 x^{5}$ .

$1296 x^{8} - 1440 x^{5} + 300 x^{2}$