Математический анализ Примеры

Поскольку ${\displaystyle 4}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle 4x^3}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 4\frac{d}{dx}\left[x^3\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=3}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle 4}$.

Поскольку ${\displaystyle -12}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle -\frac{12}{x^3}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle -12\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^3}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^3}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^3}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=3}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(x^3\right)}^{-2}}$.

Умножим ${\displaystyle 3}$ на ${\displaystyle -1}$.

Умножим ${\displaystyle x^{-6}}$ на ${\displaystyle x^2}$, сложив экспоненты.

Умножим ${\displaystyle -3}$ на ${\displaystyle -12}$.

Поскольку ${\displaystyle \frac{1}{5}}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{x^2}{5}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle \frac{1}{5}\frac{d}{dx}\left[x^2\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Объединим ${\displaystyle 2}$ и ${\displaystyle \frac{1}{5}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{2}{5}}$ и ${\displaystyle x}$.

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt{x}}$ в виде ${\displaystyle x^{\frac{1}{2}}}$.

Поскольку ${\displaystyle 2}$ является константой относительно ${\displaystyle x}$, производная ${\displaystyle \frac{2}{x^{\frac{1}{2}}}}$ по ${\displaystyle x}$ равна ${\displaystyle 2\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}\right]}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{1}{2}}}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[x^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{x}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=\frac{1}{2}}$.

Перемножим экспоненты в ${\displaystyle {\left(x^{\frac{1}{2}}\right)}^{-2}}$.

Чтобы записать ${\displaystyle -1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим ${\displaystyle -1}$ и ${\displaystyle \frac{2}{2}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим числитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ и ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{x^{-\frac{1}{2}}}{2}}$ и ${\displaystyle x^{-1}}$.

Умножим ${\displaystyle x^{-\frac{1}{2}}}$ на ${\displaystyle x^{-1}}$, сложив экспоненты.

Перенесем ${\displaystyle x^{-\frac{3}{2}}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней ${\displaystyle b^{-n}=\frac{1}{b^n}}$.

Умножим ${\displaystyle -1}$ на ${\displaystyle 2}$.

Объединим ${\displaystyle -2}$ и ${\displaystyle \frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}}}$.

Вынесем множитель ${\displaystyle 2}$ из ${\displaystyle -2}$.

Сократим общие множители.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Сократим общий множитель ${\displaystyle 4}$.

С помощью ${\displaystyle \sqrt[n]{a^x}=a^{\frac{x}{n}}}$ запишем ${\displaystyle \sqrt{x^3}}$ в виде ${\displaystyle x^{\frac{3}{2}}}$.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)g\left(x\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[g\left(x\right)\right]+g\left(x\right)\frac{d}{dx}\left[f\left(x\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=-1}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}$.

Перепишем ${\displaystyle \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}$ в виде ${\displaystyle {\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}^{-1}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dx}\left[f\left(g\left(x\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(x\right)\right)g\prime \left(x\right)}$, где ${\displaystyle f\left(x\right)=x^{-1}}$ и ${\displaystyle g\left(x\right)=x^{\frac{3}{2}}}$.