Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 {(\ln (x) + 3)}^{4} + {(\ln (x) + 3)}^{3} + 2$

Этап 1

По правилу суммы производная $4 {(\ln (x) + 3)}^{4} + {(\ln (x) + 3)}^{3} + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 {(\ln (x) + 3)}^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 {(\ln (x) + 3)}^{4}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{4}] + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{4}$ и $g (x) = \ln (x) + 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\ln (x) + 3$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\ln (x) + 3$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3]) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $\ln (x) + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3])) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.4

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3])) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.5

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} (\frac{1}{x} + 0)) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.6

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3} \frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.7

Объединим $\frac{1}{x}$ и $4$ .

$4 (\frac{4}{x} {(\ln (x) + 3)}^{3}) + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.8

Объединим $\frac{4}{x}$ и ${(\ln (x) + 3)}^{3}$ .

$4 \frac{4 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.9

Объединим $4$ и $\frac{4 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x}$ .

$\frac{4 (4 {(\ln (x) + 3)}^{3})}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.10

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [{(\ln (x) + 3)}^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\ln (x) + 3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.1.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\ln (x) + 3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x) + 3] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $\ln (x) + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [3]) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} (\frac{1}{x} + 0) + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.5

Добавим $\frac{1}{x}$ и $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2} \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.6

Объединим $\frac{1}{x}$ и $3$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3}{x} {(\ln (x) + 3)}^{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 3.7

Объединим $\frac{3}{x}$ и ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3}}{x} + \frac{3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + 0$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x} + 0$

Этап 5.1.2

Добавим $\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$ и $0$ .

$\frac{16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ из $16 {(\ln (x) + 3)}^{3} + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ из $16 {(\ln (x) + 3)}^{3}$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + 3 {(\ln (x) + 3)}^{2}}{x}$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ из $3 {(\ln (x) + 3)}^{2}$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + {(\ln (x) + 3)}^{2} \cdot 3}{x}$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель ${(\ln (x) + 3)}^{2}$ из ${(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3)) + {(\ln (x) + 3)}^{2} \cdot 3$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 (\ln (x) + 3) + 3)}{x}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 16 \cdot 3 + 3)}{x}$

Этап 5.2.3

Умножим $16$ на $3$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 48 + 3)}{x}$

Этап 5.2.4

Добавим $48$ и $3$ .

$\frac{{(\ln (x) + 3)}^{2} (16 \ln (x) + 51)}{x}$