Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 arccsc (\tan (e^{x}))$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 arccsc (\tan (e^{x}))$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [arccsc (\tan (e^{x}))]$ .

$4 \frac{d}{d x} [arccsc (\tan (e^{x}))]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = arccsc (x)$ и $g (x) = \tan (e^{x})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (e^{x})$ .

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [arccsc (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Этап 2.2

Производная $arccsc (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}}$ .

$4 (- \frac{1}{u_{1} \sqrt{{u_{1}}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (e^{x})$ .

$4 (- \frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Этап 3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 (\frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})])$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ и $- 4$ .

$\frac{- 4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})]$

Этап 3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [\tan (e^{x})]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $e^{x}$ .

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 4.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x}$ .

$- \frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} (\sec^{2} (e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

Этап 5

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\sec^{2} (e^{x})$ и $\frac{4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ .

$- \frac{\sec^{2} (e^{x}) \cdot 4}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 5.2

Перенесем $4$ влево от $\sec^{2} (e^{x})$ .

$- \frac{4 \cdot \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 6

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- \frac{4 \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}} e^{x}$

Этап 7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Объединим $e^{x}$ и $\frac{4 \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$ .

$- \frac{e^{x} (4 \sec^{2} (e^{x}))}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$

Этап 7.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- \frac{4 e^{x} \sec^{2} (e^{x})}{\tan (e^{x}) \sqrt{\tan^{2} (e^{x}) - 1}}$