Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 \log_{7} (\sqrt{x} - 2)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения на константу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 \log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$

Этап 1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\log_{7} (x^{\frac{1}{2}} - 2)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \log_{7} (x)$ и $g (x) = x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\log_{7} (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

Этап 2.2

Производная $\log_{7} (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u \ln (7)}$ .

$4 (\frac{1}{u \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{1}{2}} - 2$ .

$4 (\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)}$ и $4$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 2]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{\frac{1}{2}} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 8.3

Перенесем $x^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 2])$

Этап 9

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)$

Этап 10

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Добавим $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ и $0$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)} \cdot \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2

Умножим $\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7)}$ на $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 10.3

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 11

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Вынесем множитель $2$ из $(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (2 x^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ((x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}))}$

Этап 11.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cdot 2}{2 ((x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}))}$

Этап 11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{(x^{\frac{1}{2}} - 2) \ln (7) (x^{\frac{1}{2}})}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{(x^{\frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7)) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) x^{\frac{1}{2}} - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Умножим $x^{\frac{1}{2}}$ на $x^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1

Перенесем $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2}{x^{\frac{1 + 1}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{x^{\frac{2}{2}} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3.1.5

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{2}{x^{1} \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.3.2

Упростим $x^{1} \ln (7)$ .

$\frac{2}{x \ln (7) - 2 \ln (7) x^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{x \ln (7) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)}$

Этап 12.5

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ из $x \ln (7) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ из $x \ln (7)$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) - 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)}$

Этап 12.5.2

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ из $- 2 x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (- 2)}$

Этап 12.5.3

Вынесем множитель $x^{\frac{1}{2}} \ln (7)$ из $x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}}) + x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (- 2)$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{2}} \ln (7) (x^{\frac{1}{2}} - 2)}$