Математический анализ Примеры

$f (x) = - \frac{4 h}{x (x + h)}$

Этап 1

Поскольку $- \frac{4}{x}$ является константой относительно $h$ , производная $- \frac{4 h}{x (x + h)}$ по $h$ равна $- \frac{4}{x} \frac{d}{d h} [\frac{h}{x + h}]$ .

$- \frac{4}{x} \frac{d}{d h} [\frac{h}{x + h}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ имеет вид $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ , где $f (h) = h$ и $g (h) = x + h$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{(x + h) \frac{d}{d h} [h] - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{(x + h) \cdot 1 - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $x + h$ на $1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \frac{d}{d h} [x + h]}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $x + h$ по $h$ имеет вид $\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h (\frac{d}{d h} [x] + \frac{d}{d h} [h])}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $x$ является константой относительно $h$ , производная $x$ относительно $h$ равна $0$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h (0 + \frac{d}{d h} [h])}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d h} [h]$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \frac{d}{d h} [h]}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ имеет вид $n h^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h \cdot 1}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3.7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + h - h}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3.7.2

Вычтем $h$ из $h$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x + 0}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3.7.3

Добавим $x$ и $0$ .

$- \frac{4}{x} \cdot \frac{x}{{(x + h)}^{2}}$

Этап 3.7.4

Умножим $\frac{x}{{(x + h)}^{2}}$ на $\frac{4}{x}$ .

$- \frac{x \cdot 4}{{(x + h)}^{2} x}$

Этап 3.7.5

Перенесем $4$ влево от $x$ .

$- \frac{4 \cdot x}{{(x + h)}^{2} x}$

Этап 3.7.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.6.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{4 x}{{(x + h)}^{2} x}$

Этап 3.7.6.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{4}{{(x + h)}^{2}}$